【題目】如圖1,△ABC是邊長為4cm的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA=6cm,點D從點O出發(fā),沿OM的方向以1cm/s的速度運動,當D不與點A重合時,將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,連接DE.
(1)求證:△CDE是等邊三角形(下列圖形中任選其一進行證明);
(2)如圖2,當點D在射線OM上運動時,是否存在以D,E,B為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出運動時間t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2) 存在,當t=2或14s時,以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CE,∠DCA=∠ECB,由等邊三角形的判定可得結(jié)論;
(2)分四種情況,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解.
(1)證明:∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等邊三角形;
(2)解:存在,
①當0≤t<6s時,由旋轉(zhuǎn)可知,,,
若,由(1)可知,△CDE是等邊三角形,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,
∴t=2÷1=2s;
②當6<t<10s時,由∠DBE=120°>90°,
∴此時不存在;
③ t = 10s時,點D與點B重合,
∴此時不存在;
④ 當t>10s時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知, ∠CBE=60°
又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,
而∠BDC>0°,
∴∠BDE>60°,
∴只能∠BDE=90°,
從而∠BCD=30°,
∴BD=BC=4cm,
∴OD=14cm,
∴t=14÷1=14s;
綜上所述:當t=2或14s時,以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.
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【題目】如圖,在△ABC中,E是AC邊上的一點,且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB為直徑作⊙O交AC于點D,交BE于點F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若AB=8,BC=6,求DE的長.
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【題目】如圖,在△CBD中,CD=BD,CD⊥BD,BE平分∠CBA交CD于點F,CE⊥BE垂足是E,CE的延長線與BD交于點A.
(1)求證:BF=AC;
(2)求證:BE是AC的中垂線;
(3)若BD=2,求DF的長.
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【題目】已知,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,以AC為邊在同一平面內(nèi)作等邊△ACD,連接BD,則∠ADB=______________.
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【題目】如圖,AD⊥BC于D,BE⊥AC于F,BE交AD于F,BF=AC,
(1)求證:FD=CD;
(2)連DE,求證:ED平分∠BEC;
(3)在(2)條件下,點P在AC上,連BP、DP,BP交AD于Q, BP平分∠EBC,∠BPD=∠BFD,△APQ的面積為4,求線段PD的長.
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【題目】墊球是排球隊常規(guī)訓(xùn)練的重要項目之一,下列圖表中的數(shù)據(jù)是運動員甲、乙、丙三人每人10次墊球測試的成績,測試規(guī)則為每次連續(xù)接球10個,每墊球到位1個記1分,已知運動員甲測試成績的中位數(shù)和眾數(shù)都是7.
運動員甲測試成績統(tǒng)計表
測試序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
成績(分) | 7 | 6 | 8 | 7 | 6 | 8 | 6 | 8 |
(1)填空:______;______.
(2)要從他們?nèi)酥羞x擇一位墊球較為穩(wěn)定的接球能手,你認為選誰更合適?為什么?
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【題目】如圖1,點E為正方形ABCD的邊AB上一點,EF⊥EC,且EF=EC,連接AF.過點F作FN垂直于BA的延長線于點N.
(1)求∠EAF的度數(shù);
(2)如圖2,連接FC交BD于M,交AD于N.猜想BD,AF,DM三條線段的等量關(guān)系,并證明.
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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90度,AC將梯形分成兩個三角形,其中△ACD是周長為18cm的等邊三角形,則該梯形的中位線的長是( 。
A. 9cm B. 12cm C. cm D. 18cm
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【題目】在平行四邊形ABCD中,E是AD上一點,AE=AB,過點E作直線EF,在EF上取一點G,使得∠EGB=∠EAB,連接AG.
(1)如圖①,當EF與AB相交時,若∠EAB=60°,求證:EG=AG+BG;
(2)如圖②,當EF與CD相交時,且∠EAB=90°,請你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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