【題目】正方形中,為對角線上一點,且,交于,延長交于.
(1)求證:;
(2)已知如圖(2),為上一點,連接,并將逆時針旋轉(zhuǎn)至,連接,為的中點,連接,試求出.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)過點P作PF⊥CD于F點,過點P作PE⊥BC于E點,得到四邊形CFPE是正方形,證明△PME≌△PDF,得到ME=DF,再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求解;
(2)過Q點作QM⊥CD,延長DH交QM于E點,過E點作FN⊥BC交BC于F點,交AD于N點,連接DG,根據(jù)題意證明四邊形ENDM是正方形,DE是對角線,過H點作HP⊥AD,根據(jù)中位線的性質(zhì)得到AQ=2HP,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DH=HP,故可求出的值.
(1)過點P作PF⊥CD于F點,過點P作PE⊥BC于E點,
∵∠ECF=90°
∴四邊形CFPE是矩形
∵為對角線上一點,
∴CP平分∠ECF
∴EP=FP
∴矩形CFPE是正方形
∴
∵
∴∠MPF+∠FPD=90°
∵∠MPF+∠MPE=90°
∴∠EPM=∠FPD
又∵EP=FP,∠PEM=∠PFD=90°
∴△PME≌△PDF
∴ME=DF
∴==CE+CF
∵PC=
∴CE=
∴;
(2)過Q點作QM⊥CD,延長DH交QM于E點,過E點作FN⊥BC交BC于F點,交AD于N點,
∴四邊形EFBQ是矩形,四邊形ENDM是矩形,
連接DG,
∵逆時針旋轉(zhuǎn)至,
∴CQ=CG,CQ⊥CG
∴∠QCD+∠DCG=90°
∵∠QCD+∠BCQ=90°
∴∠BCQ=∠DCG
又∵BC=DC,CQ=CG
∴△BCQ≌△DCG,∠CDG =∠CBQ=90°
∴A,D,G在同一直線上,
∴DG=BQ,
∵MQ⊥CD,AG⊥CD
∴QM∥AG
∴∠EQH=∠DGH,
∵H是GQ的中點,
∴HQ=HG
又∵∠EHQ=∠DHG,
∴△EHQ≌△DHG,
∴EQ=DG
∴BQ=EQ
∴矩形EFBQ是正方形
∴EF=EQ
∴MQ-EQ=FN-EF
∴EM=EN
∴矩形ENDM是正方形,
∴DE是正方形ENDM的對角線,
過H點作HP⊥AG,
∵H點是HG的中點,∠QAG=90°
∴P點是AG中點,
∴AQ=2HP
∵△HDP是等腰直角三角形,HP=DP
∴DH=
∴=.
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【題目】如圖,一架的云梯斜靠在一豎直的墻上,這時為.
(1)求這個梯子的底端距墻的垂直距離有多遠;
(2)當,且時,AC的長是多少米;
(3)如果梯子的底端向墻一側(cè)移動了2米,那么梯子的頂端向上滑動的距離是多少米?
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【題目】對于一個圖形,通過兩種不同的方法計算它的面積,可以得到一個數(shù)學(xué)等式,例如圖1可以得到,請解答下列問題:
(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式____________________________________
(2)根據(jù)整式乘法的運算法則,通過計算驗證上述等式.
(3)利用(1)中得到的結(jié)論,解決下面的問題:
若,,則_________.
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【題目】如圖,正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線 、 、 、 上,這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為 、 、 ( >0, >0, >0).
(1)求證: = ;
(2)設(shè)正方形ABCD的面積為S,求證:S= ;
(3)若 ,當 變化時,說明正方形ABCD的面積S隨 的變化情況.
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【題目】對于點P(a,b),點Q(c,d),如果a﹣b=c﹣d,那么點P與點Q就叫作等差點.例如:點P(4,2),點Q(﹣1,﹣3),因4﹣2=1﹣(﹣3)=2,則點P與點Q就是等差點.如圖在矩形GHMN中,點H(2,3),點N(﹣2,﹣3),MN⊥y軸,HM⊥x軸,點P是直線y=x+b上的任意一點(點P不在矩形的邊上),若矩形GHMN的邊上存在兩個點與點P是等差點,則b的取值范圍為_____.
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【題目】下面是某同學(xué)對多項式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4進行因式分解的過程.
解:設(shè)x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
=y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
回答下列問題:
(1)該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的_______.
A.提取公因式 |
B.平方差公式 |
C.兩數(shù)和的完全平方公式 |
D.兩數(shù)差的完全平方公式 |
(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?________.(填“徹底”或“不徹底”)若不徹底,請直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________ .
(3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x2-2x)(x2-2x+2)+1進行因式分解.
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【題目】在一個不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共個,小李做摸球?qū)嶒灒龑⒑凶永锩娴那驍噭蚝髲闹须S機摸出一個球記下顏色,再把它放回盒子中,不斷重復(fù)上述過程,如表是實驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù):
摸球的次數(shù) | |||||||
摸到白球的次數(shù) | |||||||
摸到白球的頻率 |
請估計:當實驗次數(shù)為次時,摸到白球的頻率將會接近________;(精確到)
假如你摸一次,你摸到白球的概率(摸到白球)________;
如何通過增加或減少這個不透明盒子內(nèi)球的具體數(shù)量,使得在這個盒子里每次摸到白球的概率為?
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【題目】如圖,菱形ABCD的對角線相交于點0,AC=2,BD=.將菱形按如圖方式折疊,使點B與點O重合,折痕為EF,則五邊形AEFCD的面積是( )
A.B.C.D.
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【題目】河大附中初一年級有350名同學(xué)去春游,已知2輛A型車和1輛B型車可以載學(xué)生100人;1輛A型車和2輛B型車可以載學(xué)生110人.
(1)A、B型車每輛可分別載學(xué)生多少人?
(2)若租一輛A需要100元,一輛B需120元,請你設(shè)計租車方案,使得恰好運送完學(xué)生并且租車費用最少.
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