Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過點(diǎn)A（2，4），頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

，它的圖象與x軸交于兩點(diǎn)B（x₁，0）、C（x₂，0），與y軸交于點(diǎn)D，且x₁²+x₂²=13．試問：y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△POB與△DOC相似（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，請求出過P、B兩點(diǎn)直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

∵y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)B（x₁，0），C（x₂，0），
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

；
又∵x₁²+x₂²=13，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=13，
∴（-

b

a

）²-2•

c

a

=13，①
4a+2b+c=4，②
-

b

2a

=

1

2

．③
解由①、②、③組成的方程組，
得a=-1，b=1，c=6；
∴y=-x²+x+6；（2分）
與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（3，0），（3分）
與y軸交點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，6）；（4分）
設(shè)y軸上存在點(diǎn)P，使得△POB∽△DOC，則
（1）當(dāng)B（-2，0），C（3，0），D（0，6）時，
有

OB

OC

=

OP

OD

，OB=2，OC=3，OD=6；
∴OP=4；即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）；
當(dāng)P坐標(biāo)為（0，4）時，可設(shè)過P、B兩點(diǎn)直線的解析式為y=kx+4，
有0=2k+4，得k=2；
∴y=2x+4；（4.5分）
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）時，可設(shè)過P、B兩點(diǎn)直線的解析式為y=kx-4；
有0=-2k-4，
得k=-2；
∴y=-2x-4（5分）
或

OB

OD

=

OP

OC

，OB=2，OD=6，OC=3
∴OP=1，這時P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）；
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）時，可設(shè)過P、B兩點(diǎn)直線的解析式為y=kx+1；
有0=-2k+1，
得k=

1

2

．
∴y=

1

2

x+1（5.5分）
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）時，可設(shè)過P、B兩點(diǎn)直線的解析式為y=kx-1；
有0=-2k-1，
得k=-

1

2

；（6分）
∴y=-

1

2

x-1；
（2）當(dāng)B（3，0），C（-2，0），D（0，6）時，同理可得
y=-3x+9（6.5分）
或y=3x-9（7分）
或y=-

1

3

x+1（7.5）
或y=

1

3

x-1．（8分）