【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC,以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC于點D,E,BC的延長線與⊙O的切線AF交于點F.
(1)求證:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE,AF的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)CE=2,AF=
【解析】
(1)首先連接BD,由AB為直徑,可得∠ADB=90°,又由AF是⊙O的切線,易證得∠CAF=∠ABD.然后由BA=BC,證得:∠ABC=2∠CAF;
(2)首先連接AE,設CE=x,由勾股定理可得方程:(2)2=x2+(3x)2 .然后由tan∠ABF=,求得答案.
(1)證明:如圖,連接BD.
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABD=90°.
∵AF是⊙O的切線,
∴∠FAB=90°,
即∠DAB+∠CAF=90°.
∴∠CAF=∠ABD.
∵BA=BC,∠ADB=90°,
∴∠ABC=2∠ABD.
∴∠ABC=2∠CAF.
(2)解:如圖,連接AE.
∴∠AEB=90°.
設CE=x,
∵CE:EB=1:4,
∴EB=4x,BA=BC=5x,AE=3x.
在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2 .
即(2)2=x2+(3x)2 .
∴x=2.
∴CE=2,
∴EB=8,BA=BC=10,AE=6.
∵tan∠ABF=.
∴.
∴AF=.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖像過點,,與軸交于另一點,且對稱軸是直線.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)若是上的一點,作交于,當面積最大時,求的坐標;
(3)是軸上的點,過作軸,與拋物線交于,過作軸于.當以、、為頂點的三角形與、、為頂點的三角形相似時,求點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在中,.
(1)如圖①,點在斜邊上,以點為圓心,長為半徑的圓交于點,交于點,與邊相切于點.求證:;
(2)在圖②中作,使它滿足以下條件:
①圓心在邊上;②經(jīng)過點;③與邊相切.
(尺規(guī)作圖,只保留作圖痕跡,不要求寫出作法)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】橫臥于清波之上的黃石大橋與已經(jīng)貫通的五峰山隧道將成為恩施城區(qū)跨越東西方向的最大直線通道,它把六角亭老城區(qū)與知名景點女兒城連為一體,緩解了恩施城區(qū)交通擁堵的現(xiàn)狀.如圖,某數(shù)學興趣小組利用無人機在五峰山隧道正上空點P處測得黃石大橋西端點A的俯角為30°,東端點B(隧道西進口)的俯角為45°,隧道東出口C的俯角為22°,已知黃石大橋AB全長175米,隧道BC的長約多少米(計算結(jié)果精確到1米)?(參考數(shù)據(jù):sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,1.4,1.7)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=6cm,矩形ABCD中AB=2cm,BC=10cm,點C和點M重合,點B、C(M)、N在同一直線上,令Rt△PMN不動,矩形ABCD沿MN所在直線以每秒1cm的速度向右移動,至點C與點N重合為止,設移動x秒后,矩形ABCD與△PMN重疊部分的面積為y,則y與x的大致圖象是( 。
A. B. C. D.
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【題目】已知矩形中,是邊上的一個動點,點,,分別是,,的中點.
(1)求證:;
(2)當是的中點時,四邊形是什么樣的特殊四邊形?請證明你的結(jié)論.
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【題目】伊利集團是中國規(guī)模最大、產(chǎn)品線最全的乳制品企業(yè).綜合實踐小組的同學從網(wǎng)上搜集到如下一些伊利集團近幾年的營業(yè)狀況的資料,其中圖1是2013﹣2018年伊利集團營業(yè)收入及凈利潤情況統(tǒng)計圖,圖2是2018年伊利集團各品類業(yè)務營收比例情況統(tǒng)計圖(數(shù)據(jù)來源:公司財報、中商產(chǎn)業(yè)研究院).
(1)解讀信息:
綜合實踐小組的同學結(jié)合統(tǒng)計圖提出了如下問題,請你解答:
①2018年,伊利集團營收及凈利再次刷新行業(yè)紀錄,穩(wěn)居亞洲乳業(yè)第一.這一年,伊利集團實現(xiàn)營業(yè)收人 億元,凈利潤 億元;
②求2018年伊利集團“奶粉及奶制品“業(yè)務的營業(yè)收入(結(jié)果保留整數(shù));
③在2013﹣2018這6年中;伊利集團凈利潤比上一年增長額最多的是 年;估計2019年伊利集團的凈利潤將比上一年增長 億元,理由是 ;
(2)拓展活動:
如圖,同學們收集了伊利集團旗下“優(yōu)酸乳、谷粒多、QQ星,安幕!彼姆N產(chǎn)品的商標圖片(四張圖片除商標圖案外完全相同,分別記為A,B,C,D)(見圖3).同學們用這四張卡片設計了一個游戲,規(guī)則是:將四張圖片背面朝上放在桌上,攪勻后,由甲從中隨機抽取一張,記下商標名稱后放回;再次攪勻后,由乙從中隨機抽取一張.若兩人抽到的商標相同則甲獲勝;否則,乙獲勝,這個規(guī)則對甲乙雙方公平嗎?說明理由.
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【題目】在課外實踐中,小明為了測量江中信號塔離河邊的距離,采取了如下措施:如圖在江邊處,測得信號塔的俯角為,若米,,米,平行于,的坡度為,坡長米,則的長為( )(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):,,)
A.78.6米B.78.7米C.78.8米D.78.9米
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【題目】如圖①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D為BC邊上一點(不與點B,C重合),將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE,連接EC,則:
(1)①∠ACE的度數(shù)是 ; ②線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關系是 .
(2)如圖②,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC邊上一點(不與點B,C重合),將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,請判斷線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)如圖②,AC與DE交于點F,在(2)條件下,若AC=8,求AF的最小值.
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