Question

（2012•和平區(qū)二模）已知拋物線y₁=a（x-2）²-4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（0，-3），頂點(diǎn)為M，將拋物線y₁向上平移b個(gè)單位可使平移后得到的拋物線y₂經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y₂的頂點(diǎn)為A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．

（1）求a的值；
（2）①b=

3

，②拋物線y₂的函數(shù)表達(dá)式是

y₂=

1

4

（x-2）²-1

；
（3）①點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)|PA-PB|的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，在拋物線y₂上是否存在點(diǎn)F，使O（原點(diǎn)）、M、E、F四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)M為一邊的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將（0，-3）代入y₁=a（x-2）²-4（a≠0）中，即可求得a的值．
（2）拋物線y1經(jīng)過（0，-3），向上平移后經(jīng)過原點(diǎn)即可（0，0），因此拋物線向上平移了3個(gè)單位，根據(jù)“上加下減”的平移規(guī)律即可得出y₂的函數(shù)表達(dá)式．
（3）①當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，能構(gòu)成△PAB，由三角形三邊關(guān)系定理不難看出|PA-PB|＜AB；若P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，|PA-PB|=AB，顯然當(dāng)|PA-PB|的值最大時(shí)，P、A、B三點(diǎn)共線，所以直接求出直線AB的解析式，該直線與y軸的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)；
②點(diǎn)O、M已經(jīng)確定了具體坐標(biāo)，且OM是平行四邊形的邊，所以只考慮另一邊EF即可，由于點(diǎn)E在x軸上，且OM

∥

.

EF，所以可分兩種情況討論：
Ⅰ、點(diǎn)F在x軸下方，此時(shí)MF必與OB平行，即MF平行于x軸，此時(shí)M、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，由題意（y₂由y₁向上平移所得）可知，點(diǎn)F不可能在y₂上，這種情況不成立；
Ⅱ、點(diǎn)F在x軸下方，由于平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，那么此時(shí)M、F的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可據(jù)此確定點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）拋物線y₁=a（x-2）²-4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（0，-3），可得：
-3=a（0-2）²-4，
解得：a=

1

4

．

（2）∵經(jīng)過（0，-3）的拋物線y1向上平移，經(jīng)過（0，0）得到拋物線y2，
∴向上平移了3個(gè)單位，即b=3；
故拋物線y₂：y₂=

1

4

（x-2）²-4+3=

1

4

（x-2）²-1．

（3）①∵|PA-PB|≤AB，且當(dāng)且僅當(dāng)P、A、B共線時(shí)取等號(hào)，
∴|PA-PB|的值最大時(shí)，P、A、B共線；
由（2）的拋物線解析式知：A（2，-1）、B（4，0），設(shè)直線AB的解析式：y=kx+b，有：

2k+b=-1 4k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=-2

故直線AB：y=

1

2

x-2，則P（0，-2）．
②易知M（2，-4），分兩種情況討論：
Ⅰ、點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，由于OM是平行四邊形的邊，則MF∥x軸，即F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，顯然點(diǎn)F不可能在拋物線y₂上，此種情況不成立；
Ⅱ、點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，由于平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，所以F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4；
當(dāng)y₂=4時(shí)，

1

4

（x-2）²-1=4，解得：x=2±2

5

則F（2-2

5

，4）或（2+2

5

，4）；
綜上，存在符合條件的F點(diǎn)，且坐標(biāo)為（2-2

5

，4）或（2+2

5

，4）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移規(guī)律、三角形三邊關(guān)系定理以及平行四邊形的判定等重要知識(shí)；（3）的難度較大，利用幾何知識(shí)找出解題的思路是解題的關(guān)鍵，著重體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性．