Question

已知二次函數(shù)y=x²+ax+a-2.
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn).
（2）設(shè)a＜0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的距離為時(shí)，求出此二次函數(shù)的解析式.
（3）若（2）中的條件不變，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由.

Answer 1

（1）因?yàn)椤?a²-4(a-2)=(a-2)²+4＞0，所以不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn).
（2）設(shè)x₁、x₂是x²+ax+a-2=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得， x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
因兩交點(diǎn)的距離是AB=，所以==. 即(x₁-x₂)²=13，
即(x₁-x₂)²=13，
變形為(x₁+x₂)²-4x₁x₂=13，所以(-a)²-4(a-2)=13
整理，得a²-4a-5=0，解得a₁=5，或a₂=-1.
又因?yàn)閍＜0，所以a=-1，
所以此二次函數(shù)的解析式為y=x²-x-3.
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x₀，y₀)，因?yàn)锳B=
所以
所以=3，則y₀=±3.
當(dāng)y₀=3時(shí)，x₀²-x₀-3=3，解得x₀=-2，或3；
當(dāng)y₀=-3時(shí)，x₀²-x₀-3=-3，解得x₀=0，或1.
綜上所述， P點(diǎn)坐標(biāo)是(-2，3)，(3，3)，(0，-3)或(1，-3).