Question

如圖，矩形ABCD中，BC=2AB，P是直線(xiàn)CD上一動(dòng)點(diǎn)，連BP，過(guò)P作BP的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)AD于E，交直線(xiàn)BC于F，若DE=1，CF=3，則PC=

8

．

Answer 1

分析：設(shè)AB=x，則BC=2x，由矩形的性質(zhì)和已知條件可得：PC²=BC•CF，DE∥CF可證明△EDP∽△FCP，由相似三角形的性質(zhì)可得：

DP

PC

=

DE

CF

，又因?yàn)锳B=DP+PC，所以可建立關(guān)于x的方程，求出x的值，進(jìn)而可求出PC的長(zhǎng)．

解答：解：設(shè)AB=x，則BC=2x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴PC⊥BF，
∵BP⊥FP，
∴PC²=BC•CF，
∵BC=2x，CF=3，
∴PC²=6x，
∴PC=

6x

，
∵DE∥CF，
∴△EDP∽△FCP，
∴

DP

PC

=

DE

CF

，
即

DP

6x

=

1

3

，
∴DP=

6x

3

，
∵AB=CD=DP+CP=

6x

3

+

6x

=x，
∴x=

32

3

，
∴PC=

6x

=

6× 32 3

=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)通過(guò)圖形中線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系建立方程，解方程即可，此題對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求也很高．