Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=3.5，sinB=

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5

，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，BE=3，點(diǎn)P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，作∠EPF，使得∠EPF=∠B，射線PF與AD邊交于點(diǎn)F，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，設(shè)BP=x，DF=y．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；
（3）連接EF，如果△PEF是等腰三角形，試求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）作等腰梯形ABCD的高AM、DN，得矩形AMND，△ABM≌△DCN，則BC=BM+MN+NC=AD+2AB•cosB=9.5；
（2）先由三角形內(nèi)角和定理得出∠BEP=∠GPC，由等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等得出∠B=∠C，則△BEP∽△CPG，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；
（3）分三種情況：①PE=PF；②PE=EF；③PF=EF．

解答：解：（1）如圖，作等腰梯形ABCD的高AM、DN，得矩形AMND，△ABM≌△DCN，
所以BC=BM+MN+NC=AD+2AB•cosB=3.5+2×5×

3

5

=9.5；

（2）如圖．∵∠EPB+∠EPF+∠GPC=∠EPB+∠B+∠BEP=180°，∠EPF=∠B，
∴∠BEP=∠GPC，
∵ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△BEP∽△CPG，
∴BE：CP=BP：CG，
∴3：（9.5-x）=x：CG ①；
又∵FD∥PC，
∴△GFD∽△GPC，
∴FD：PC=GD：GC，
∴y：（9.5-x）=（CG-5）：CG ②，
①②聯(lián)立，消去CG，解得y=9.5-x-

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x

，
∵射線PF與AD邊交于點(diǎn)F，即y＞0，
∴9.5-x-

15

x

＞0，
又x＞0，
∴9.5x-x²-15＞0，
∴x²-9.5x+15＞0，
解得2＜x＜7.5；

（3）分三種情況：
①如果PE=PF，如圖，過(guò)F作DC平行線交底邊于H，則∠FHP=∠C=∠B．
∵在△PEB與△FPH中，

∠B=∠FHP ∠BEP=∠HPF PE=FP

，
∴△PEB≌△FPH（AAS），
∴EB=PH=3，BP=FH=DC=5；
②如果PE=EF，如圖，過(guò)F作DC平行線交底邊于H，則∠FHP=∠C=∠B．
∵在△PEB與△FPH中，

∠B=∠FHP ∠BEP=∠HPF

，
∴△PEB∽△FPH，
∴PE：PF=PB：FH，
又∵PE=EF，
過(guò)E點(diǎn)做△EFP的高ET，則FP：PE=2PT：PE=2cos∠EPF=2cos∠B=

6

5

，
∵FH=DC=5，
∴

5

6

=

x

5

，
解得x=

25

6

；
③如果PF=EF，同理可得△PEB∽△FPH，
∴PE：PF=PB：FH，
∵PE=EF，
過(guò)F點(diǎn)做△EFP的高FT，則PE：PF=2PT：PF=2cos∠EPF=2cosB=

6

5

，
∵FH=DC=5，
∴

5

6

=

5

x

，
解得x=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，第（3）問(wèn)進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．