精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC中,∠C=∠ABC,以AB為直徑作⊙O交BC于D,DE⊥AC,垂足為E.
(1)判斷DE與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)如果BC=10,CE=4,求直徑AB的長.
分析:(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或平行線的性質(zhì)易得OD⊥DE,故DE與⊙O相切.
(2)本題方法較多,需連接AD,分析圖形,通過相似三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)的定義求出AB的值即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:
(1)方法一:DE與⊙O相切;(1分)
理由:連接OD,(2分)
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠BDO;(3分)
又∵∠C=∠ABC,
∴∠BDO=∠C;
∵DE⊥AC,
∴∠C+∠CDE=90°,
∴∠BDO+∠CDE=90°,(4分)
∴∠EDO=180°-(∠BDO+∠CDE)=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE與⊙O相切.(5分)
方法二:DE與⊙O相切;(1分)
理由:連接OD;(2分)
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠BDO;(3分)
又∵∠C=∠ABC,
∴∠C=∠BDO,
∴OD∥AC,(4分)
∴∠EDO=∠CED;
∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°,
∴∠EDO=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE與⊙O相切.(5分)

(2)方法一:連接AD;(6分)
∵∠C=∠ABC,
∴AB=AC;
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°;
∴AD⊥BC;(7分)
∴BD=CD=
1
2
BC=5;(8分)
∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°;
在Rt△CDE中,cosC=
CE
CD
,
在Rt△ACD中,cosC=
CD
AC

CE
CD
=
CD
AC
,(9分)
4
5
=
5
AC
;
∴AC=
25
4
,
∴AB=
25
4
.(10分)

方法二:連接AD.(6分)
∵∠C=∠ABC,
∴AB=AC.
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°,(7分)
∴AD⊥BC,
∴BD=CD=
1
2
BC=5.(8分)
在Rt△CDE中,cosC=
CE
CD
,
在Rt△ADB中,cos∠ABD=
BD
AB
,
又∵∠C=∠ABC,
CE
CD
=
BD
AB
,
4
5
=
5
AB
;(9分)
∴AB=
25
4
.(10分)

方法三:連接AD;(6分)
∵∠C=∠ABC,
∴AB=AC,
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,(7分)
∴CD=
1
2
BC=5;(8分)
∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°,
∴∠CED=∠CDA;
又∵∠C=∠C,
∴△CED∽△CDA,(9分)
CE
CD
=
CD
CA
,即
4
5
=
5
CA
,
∴CA=
25
4
;
∴AB=
25
4
.(10分)

方法四:連接AD;(6分)
∵∠C=∠ABC,
∴AB=AC;
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,(7分)
∴BD=CD=
1
2
BC=5;(8分)
∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°,
∴∠CED=∠ADB;
又∵∠C=∠ABC,
∴△CED∽△BDA,(9分)
CE
BD
=
CD
AB

4
5
=
5
AB
,
∴AB=
25
4
.(10分)
點評:本題考查的是切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心和這點(即為半徑),再證垂直即可.要注意連接過切點的半徑與構(gòu)造直徑所對的圓周角是圓中的常見輔助線.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC中,AB=AC,E、F分別在AB、AC上且AE=CF.
求證:EF≥
12
BC.

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(2012•梓潼縣一模)如圖,已知△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,則sinA=( 。

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如圖,已知△ABC中,AB=AC,D是BC中點,則下列結(jié)論不正確的是( 。

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