Question

已知：如圖，AC是⊙O的直徑，AB是弦，MN是過點A的直線，AB等于半徑長．
（1）若∠BAC=2∠BAN，求證：MN是⊙O的切線．
（2）在（1）成立的條件下，當點E是

AB

的中點時，在AN上截取AD=AB，連接BD、BE、DE，求證：△BED是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）連接OB．由AC是⊙O的直徑，AB是弦且等于半徑長，易證△AOB為等邊三角形，得到∠BAC=2∠BAN=60°，得∠BAN=30°，所以∠CAN=∠BAC+∠BAN=90°；
（2）連接AE，由E是弧AB的中點，根據(jù)弧相等所對的圓心角相等和弧的度數(shù)與它所對圓心角的度數(shù)的關系得到∠BAE=∠ABE=15°，則∠DAE=15°，易證△ABE≌△ADE．則BE=DE，∠EDA=∠ABE=15°，得到∠BDE=∠EBD=（180°-30°-30°）÷2=60°，即可判斷△BED是等邊三角形．

解答：證明：（1）連接OB．如圖，
∵AC是⊙O的直徑，AB是弦且等于半徑長，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB為等邊三角形，
∴∠OAB=60°，
∵∠BAC=2∠BAN=60°，
∴∠BAN=30°，
∴∠CAN=∠BAC+∠BAN=90°，
即AC⊥MN，
所以MN是⊙O的切線；

（2）連接AE，OE，如圖，
∵E是弧AB的中點，
∴∠BAE=∠ABE=15°，
∴∠DAE=15°，
易證△ABE≌△ADE．
∴BE=DE，∠EDA=∠ABE=15°．
∴∠BDE=∠EBD=（180°-30°-30°）÷2=60°．
∴△BDE是等邊三角形．

點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理的推論以及三角形全等的判定與性質(zhì)．