Question

如圖，在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC=2，圓A的半徑1，點O在BC邊上運動（與點B，C不重合），設BO=x，△AOC的面積是y．
（1）求y關于x的函數關系式及自變量的取值范圍；
（2）以點O為圓心，BO為半徑作圓O，求當⊙O與⊙A相切時，△AOC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠BAC=90°，AB=AC=2 ，根據勾股定理即可求得BC，且∠B=∠C，然后作AM⊥BC，由S_△AOC=OC•AM，即可求得y關于x的函數解析式；
（2）由⊙O與⊙A外切或內切，即可求得ON的值，繼而求得△AOC的面積．
解答：解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2 ，
由勾股定理知BC==4，且∠B=∠C，
作AM⊥BC，
則∠BAM=45°，BM=CM=2=AM，
∵BO=x，則OC=4-x，
∴S_△AOC=OC•AM=×（4-x）×2=4-x，
即y=4-x （0＜x＜4）；

（2）①作AD⊥BC于點D，
∵△ABC為等腰直角三角形，BC=4，
∴AD為BC邊上的中線，
∴AD==2，
∴S_△AOC=，
∵BO=x，△AOC的面積為y，
∴y=4-x（0＜x＜4），

②過O點作OE⊥AB交AB于E，
∵⊙A的半徑為1，OB=x，
當兩圓外切時，
∴OA=1+x，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴BE=OE=，
∴在△AEO中，AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（1+x）²=（2-）²+（）²，
∴x=，
∵△AOC面積=y=4-x，
∴△AOC面積=；
當兩圓內切時，
∴OA=x-1，
∵AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（x-1）²=（2-）²+（）²，
∴x=，
∴△AOC面積=y=4-x=4-=，
∴△AOC面積為或．
點評：此題考查了相切兩圓的性質，三角形面積的求解方法，以及勾股定理的應用等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．