【題目】ABC和△ADE中,AB=ACAD=AE,∠BAC=DAE=α(0°α≤90°),點(diǎn)F,G,P分別是DE,BCCD的中點(diǎn),連接PFPG

1)如圖①,α=90°,點(diǎn)DAB上,則∠FPG= °

2)如圖②,α=60°,點(diǎn)D不在AB上,判斷∠FPG的度數(shù),并證明你的結(jié)論;

3)連接FG,若AB=5,AD=2,固定△ABC,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)PF的長最大時(shí),FG的長為 (用含α的式子表示).

【答案】190°;(2120°,證明見解析;(3

【解析】

1)由AB=AC、AD=AE,得BD=CE,再根據(jù)GP、F分別是BC、CD、DE的中點(diǎn),可得出PGBD,PFCE.則∠GPF=180°﹣∠α=90°;

2)連接BD,連接CE,由已知可證明△ABD≌△ACE,則∠ABD=ACE.因?yàn)?/span>G、P、F分別是BCCD、DE的中點(diǎn),則PGBD,PFCE.進(jìn)而得出∠GPF=180°﹣∠α=120°

3)當(dāng)DBA的延長線上時(shí),CE=BD最長,此時(shí)BD=AB+AD=5+2=7,再由三角形中位線定理即可算出PG=35,在RtGPH中,由三角函數(shù)的定義即可求出GH,進(jìn)一步求出FG

解:(1)∵AB=AC、AD=AE,∴BD=CE,

G、P、F分別是BCCD、DE的中點(diǎn),

PGBD,PFCE.∴∠ADC=DPG,∠DPF=ACD,

GPF=DPF+DPG=ADC+ACD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=90°,

即∠GPF=90°;

故答案為:90

2)∠FPG=120°;

理由:連接BD,連接CE

∵∠BAC=DAE,∴∠BAD=CAE

在△ABD和△ACE中,

AB=AC,∠BAD=CAEAD=AE,

∴△ABD≌△ACESAS),∴∠ABD=ACE

G、PF分別是BC、CD、DE的中點(diǎn),

PGBD,PFCE.∴∠PGC=CBD,

DPF=DCE=DCA+ACE=DCA+ABD

DPG=PGC+BCD=CBD+BCD,

GPF=DPF+DPG=DCA+ABD+CBD+BCD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=120°,即∠GPF==120°;

3)連結(jié)BD,CE,過PPHFGH,

由(2)可知,△ABD≌△ACE,∴BD=CE,且PG=PF=BD,當(dāng)DBA的延長線上時(shí),CE最長,即BD最長,此時(shí)BD=AB+AD=5+2=7,

PG=3.5,∵PF=PG,PHFG

∴∠GPH=FPG=180°﹣∠α=90°α,FG=2HG,

FG=2HG=2PGsinGPH=2×3.5×=

故答案為:

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