【題目】如圖1,四邊形OABC中,OA=a,OC=5,BC=3,∠AOC=∠BCO=90°,經(jīng)過點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分,直線l與OC所成的角設(shè)為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處(如圖1).
圖1 圖2 圖3
(1)若θ=45°,四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后,點(diǎn)B落在點(diǎn)四邊形OABC的邊AB上 (如圖2) ,求a的值.
(2)若折疊后點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)(如圖3),求θ的值;
【答案】(1)8;(2)30°.
【解析】試題分析:(1)如圖1,運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)得到OE=OC=5,DE=BC=3;證明AE=DE,問題即可解決.
(2)如圖2,作輔助線,首先證明DM=DN,進(jìn)而證明∠AOD=∠DOM=∠MOC=θ,問題即可解決.
試題解析:(1)如圖1,由題意得:
l⊥AB,OE=OC=5,DE=BC=3;
∠OED=∠C=90°;
∵∠AOF=45°,l⊥AB,
∴∠A=45°,∠ADE=90°-45°=45°,
∴∠A=∠ADE,
∴AE=DE=3,
∴OA=5+3=8,
即a的值為8.
(2)如圖2,連接MD并延長,交OA的延長線于點(diǎn)N;
∵BM∥AN,
∴△BMD∽△AND,
∴,而BD=AD,
∴MD=ND;
由題意得:∠ODM=∠C=90°,∠MOD=∠MOC=θ;
∴OD是線段MN的垂直平分線,
∴OM=ON,
∴OD平分∠MON,
∴∠AOD=∠DOM=∠MOC=θ,
∵∠AOC=90°,
∴θ=30°.
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(1) 如圖(1),連接AM、AN,求∠MAN的度數(shù)。
(2) 如圖(2),如果AB=AC, 求證:BM=MN=NC.
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