Question

【題目】如圖,已知□ABCD的面積為S，點(diǎn)P、Q時(shí)是ABCD對(duì)角線BD的三等分點(diǎn)，延長(zhǎng)AQ、AP，分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)EF。甲，乙兩位同學(xué)對(duì)條件進(jìn)行分析后，甲得到結(jié)論①：“E是BC中點(diǎn)” .乙得到結(jié)論②：“四邊形QEFP的面積為S”。請(qǐng)判斷甲乙兩位同學(xué)的結(jié)論是否正確，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】①結(jié)論一正確，理由見解析；②結(jié)論二正確，S四QEFP= S

【解析】

試題

（1）由已知條件易得△BEQ∽△DAQ，結(jié)合點(diǎn)Q是BD的三等分點(diǎn)可得BE：AD=BQ：DQ=1：2，再結(jié)合AD=BC即可得到BE：BC=1：2，從而可得點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，由此即可說(shuō)明甲同學(xué)的結(jié)論①成立；

（2）同（1）易證點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，由此可得EF∥BD，EF=BD，從而可得△CEF∽△CBD，則可得得到S△CEF=S△CBD=S平行四邊形ABCD=S，結(jié)合S四邊形AECF=S可得S△AEF=S，由QP=BD，EF=BD可得QP：EF=2：3，結(jié)合△AQP∽△AEF可得S△AQP=S△AEF=，由此可得S四邊形QEFP= S△AEF- S△AQP=S，從而說(shuō)明乙的結(jié)論②正確；

試題解析：

甲和乙的結(jié)論都成立，理由如下：

（1）∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴△BEQ∽△DAQ，

又∵點(diǎn)P、Q是線段BD的三等分點(diǎn)，

∴BE：AD=BQ：DQ=1：2，

∵AD=BC，

∴BE：BC=1：2，

∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，即結(jié)論①正確；

（2）和（1）同理可得點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，

∴EF∥BD，EF=BD，

∴△CEF∽△CBD，

∴S△CEF=S△CBD=S平行四邊形ABCD=S，

∵S四邊形AECF=S△ACE+S△ACF=S平行四邊形ABCD=S，

∴S△AEF=S四邊形AECF-S△CEF=S，

∵EF∥BD，

∴△AQP∽△AEF，

又∵EF=BD，PQ=BD，

∴QP：EF=2：3，

∴S△AQP=S△AEF=，

∴S四邊形QEFP= S△AEF- S△AQP=S-=S，即結(jié)論②正確.

綜上所述，甲、乙兩位同學(xué)的結(jié)論都正確.