Question

如圖，一副三角板拼在一起，O為AD的中點(diǎn)，AB=a．將△ABO沿BO對(duì)折于△A′BO，M為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則A′M的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)知AB=A′B=a；而O是Rt△ABD斜邊AD的中點(diǎn)，則有AO=OB，由此可證得△ABO是等邊三角形，那么∠A′BO=∠ABO=60°，進(jìn)而可求出∠A′BM=15°；當(dāng)A′M最小時(shí)，A′M⊥BC，此時(shí)△A′BM是直角三角形，取A′B的中點(diǎn)N，連接MN，那么∠A′NM=30°，A′N=MN=

1

2

A′B=

1

2

a；過(guò)M作A′B的垂線，設(shè)垂足為H，在Rt△MNH中，根據(jù)∠A′NM的度數(shù)即可表示出NH，MH的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出A′H的長(zhǎng)，即可在Rt△A′MH中，根據(jù)勾股定理求出A′M的長(zhǎng)．

解答：解：由折疊的性質(zhì)知：AB=A′B=a，∠ABO=∠A′BO；
∵O是Rt△ABD斜邊AD的中點(diǎn)，
∴OA=OB，即△ABO是等邊三角形；
∴∠ABO=∠A′BO=60°；
∵∠ABD=90°，∠CBD=45°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=135°，
∴∠A′BM=135°-120°=15°；
易知當(dāng)A′M⊥BC時(shí)，A′M最短；
過(guò)M作MH⊥A′B于H，取A′B的中點(diǎn)N，連接MN，如右下圖；
在Rt△A′BM中，N是斜邊A′B的中點(diǎn)，則BN=NM=A′N=

1

2

a，∠B=∠NMB=15°；
∴∠A′NM=30°；
∴MH=

1

2

MN=

1

4

a，
∴NH=

MN2-MH2

=

3

4

a；
∴A′H=A′N-NH=

2- 3

4

a；
由勾股定理得：A′M=

A′H2+HM2

=

( 1 4 a)2+( 2- 3 4 a)2

=

6 - 2

4

a．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，能夠正確的構(gòu)建出含特殊角的直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．