如圖,點P、Q是直線y1=
1
2
x+2
與雙曲線y2=
k
x
在第一三象限內(nèi)的交點,直線y1=
1
2
x+2
與x軸、y軸的交點分別為A、C,過P作PB垂直于x軸,若AB+PB=15,Q點的橫坐標(biāo)是-10.
(1)求k的值;
(2)求△POQ的面積;
(3)當(dāng)y1>y2時自變量x的取值范圍是
-10<x<0或x>6
-10<x<0或x>6
(直接寫出結(jié)果).
分析:(1)先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出A、C兩點的坐標(biāo),根據(jù)P在一次函數(shù)的圖象上設(shè)出P點及B點的坐標(biāo),根據(jù)AB+PB=15求出P點坐標(biāo),進而求出反比例函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)P、A、B三點坐標(biāo)即可求出△ABP的面積及△ABC的面積.二者之差即為△PBC的面積;
(3)利用交點P、Q的坐標(biāo)即可得出y1>y2時自變量x的取值范圍.
解答:解:(1)∵A、C為直線y1=
1
2
x+2與x軸、y軸的交點,
∴A(-4,0),C(0,2),
設(shè)B點坐標(biāo)為(x,0),
∵P是一次函數(shù)y1=
1
2
x+2上的點,PB垂直于x軸,
∴P點坐標(biāo)為(x,
1
2
x+2),
∴AB+PB=|OA|+|OB|+|PB|=4+x+
1
2
x+2=
3
2
x+6,
∵AB+PB=15,
3
2
x+6=15,解得,x=6,
∴P點坐標(biāo)為(6,5),
∵P在雙曲線y2=
k
x
上,
∴k=6×5=30;

(2)∵y=
1
2
x+2,
∴當(dāng)x=-10時,y=
1
2
×(-10)+2=-3,
∴點Q的坐標(biāo)為(-10,-3).
∴S△POQ=S△AOP+S△AOQ=
1
2
×4×5+
1
2
×4×3=16,
即△POQ的面積為16;

(3)∵點P、Q是直線y1=
1
2
x+2與雙曲線y2=
30
x
的交點,
而P(6,5),Q(-10,-3),
∴當(dāng)y1>y2時自變量x的取值范圍是-10<x<0或x>6.
故答案為-10<x<0或x>6.
點評:本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題,比較函數(shù)值的大小,三角形的面積等知識,具有一定的綜合性,難度適中,利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的重點.
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(1)求k的值;
(2)求△POQ的面積;
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