Question

如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O是邊AD上的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)EO到F,使得OE=OF.

（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AEDF是菱形？（直接寫出答案）
（2）若矩形ABCD的周長(zhǎng)為20,四邊形AEDF的面積是否存在最大值？如果存在,請(qǐng)求出最大值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若AB=,BC=,當(dāng).滿足什么條件時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形？（不必說(shuō)明理由）

Answer 1

（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AEDF是菱形;
（2）存在.當(dāng)時(shí),四邊形AEDF的面積最大為25;
（3）當(dāng)m≤n時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形．

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB=CD,∠B=∠C=90°,求出四邊形是平行四邊形,根據(jù)勾股定理求出AE=DE,即可得出答案;
（2）求出S_{四邊形AEDF}=2S_△AED=S_矩形ABCD,設(shè)AB=x,則BC=10﹣x,四邊形AEDF的面積為y,求出y=x（10﹣x）,求出二次函數(shù)的最值即可;
（3）根據(jù)矩形能推出△BAE∽△CED,得出比例式,代入得出方程,求出方程的判別式,即可得出答案．
試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AEDF是菱形,
理由是：∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=90°,
∵E為BC中點(diǎn),
∴BE=CE,
由勾股定理得：AE=DE,
∵點(diǎn)O是邊AD上的中點(diǎn),OE=OF,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,
∴平行四邊形AEDF是菱形;
（2）存在.
∵點(diǎn)O是AD的中點(diǎn),
∴AO="DO" ,
∵OE=OF,
∴四邊形AEDF是平行四邊形 ,
∴ ,
設(shè)AB=,則BC=,四邊形AEDF的面積為,



當(dāng)時(shí),四邊形AEDF的面積最大為25;
（3）當(dāng)m≤n時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形,
理由是：設(shè)BE=z,則CE=n﹣z,
當(dāng)四邊形AEDF是矩形時(shí),∠AED=90°,
∵∠B=∠C=90°,
∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠DEC=90°,
∴∠BAE=∠DEC,
∴△BAE∽△CED,
∴,
∴,
∴z²﹣nz+m²=0,
當(dāng)判別式△=（﹣n）²﹣4m²≥0時(shí),方程有根,即四邊形AEDF是矩形,
解得：m≤n,
∴當(dāng)m≤n時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形．