Question

如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且x₁＞x₂，與y軸交于點C（0，4），其中x₁，x₂是方程x²－2x－8＝0的兩個根．
【小題1】求這條拋物線的解析式；
【小題2】點P是線段AB上的動點，過點P作PE∥AC，交BC于點E，連接CP，當△CPE的面積最大時，求點P的坐標；
【小題3】探究：若點Q是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點Q，使△QBC成為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】∵x²-2x-8="0" ，∴(x-4)(x+2)="0" .∴x₁=4,x₂=-2.
　　       ∴A(4,0) ,B(-2,0)
又∵拋物線經(jīng)過點A、B、C,設拋物線解析式為y=ax²+bx+c (a≠0)，
∴ 　　∴
　     ∴所求拋物線的解析式為y＝－x²＋x＋4
【小題2】設P點坐標為(m,0),過點E作EG⊥x軸于點G.
　　        ∵點B坐標為(-2，0)，點A坐標(4,0)，
　　        ∴AB=6， BP=m+2.
　　        ∵PE∥AC，
　　        ∴△BPE∽△BAC.
　　        ∴.
　　        ∴.∴EG＝
　　        ∴S_△CPE= S_△CBP- S_△EBP=BP•CO－BP•EG
　　        ∴(m＋2)（4－）.＝－m ²＋m＋[來源:學|科|網(wǎng)]
　　        ∴ (m－1) ²＋3
　　       又∵-2≤m≤4，
　　        ∴當m=1時，S_△CPE有最大值3.
此時P點的坐標為(1，0).
【小題3】存在Q點，其坐標為Q₁(1，1)，Q₂ (1，)，Q_3. (1，－)，
　　        Q_4. (1，4＋)，Q_5. (1，4－)．                              5分

解析