Question

（2012•龍巖）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A（-1，0）．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)：B

（3，0）

、C

（0，

3

）

；并求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點(diǎn)E放在線段AB上（點(diǎn)E是不與A、B兩點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)），并使ED所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．此時(shí)，EF所在直線與（1）中的拋物線交于點(diǎn)M．
①設(shè)AE=x，當(dāng)x為何值時(shí)，△OCE∽△OBC；
②在①的條件下探究：拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P使△PEM是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用解直角三角形求出OC的長(zhǎng)度，再求出OB的長(zhǎng)度，從而可得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）①根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OE的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出AO的長(zhǎng)度，相加即可得到AE的長(zhǎng)度，即x的值；
②根據(jù)①確定點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，然后求出∠FEB=60°，根據(jù)同位角相等兩直線平行求出EF∥AC，再求出直線EF的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出EM的長(zhǎng)度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三種情況分別求解．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0），
∴OA=1，
由圖可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，
所以，OC=OA•tan60°=1×

3

=

3

，
OB=OC•cot30°=

3

×

3

=3，
所以，點(diǎn)B（3，0），C（0，

3

），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c= 3

，
解得

a=- 3 3 b= 2 3 3 c= 3

，
所以，拋物線的解析式為y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；

（2）①∵△OCE∽△OBC，
∴

OE

OC

=

OC

OB

，
即

OE

3

=

3

3

，
解得OE=1，
所以，AE=OA+OE=1+1=2，
即x=2時(shí)，△OCE∽△OBC；

②存在．理由如下：
拋物線的對(duì)稱軸為x=-

b

2a

=-

2 3 3

2×(- 3 3 )

=1，
所以，點(diǎn)E為拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，
∵OA=OE，OC⊥x軸，∠BAC=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴∠AEC=60°，
又∠DEF=60°，
∴∠FEB=60°，
∴∠BAC=∠FEB，
∴EF∥AC，
由A（-1，0），C（0，

3

）可得直線AC的解析式為y=

3

x+

3

，
∵點(diǎn)E（1，0），
∴直線EF的解析式為y=

3

x-

3

，
聯(lián)立

y= 3 x- 3 y=- 3 3 x2+ 2 3 3 x+ 3

，
解得

x1=2 y1= 3

，

x2=-3 y2=-4 3

（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，

3

），
EM=

(2-1)2+( 3 -0)2

=2，
分三種情況討論△PEM是等腰三角形，
當(dāng)PE=EM時(shí)，PE=2，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）或（1，-2），
當(dāng)PE=PM時(shí)，∵∠FEB=60°，
∴∠PEF=90°-60°=30°，
PE=

1

2

EM÷cos30°=

1

2

×2÷

3

2

=

2 3

3

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

2 3

3

），
當(dāng)PM=EM時(shí)，PE=2EM•cos30°=2×2×

3

2

=2

3

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2

3

），
綜上所述，拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P（1，2）或（1，-2）或（1，

2 3

3

）或（1，2

3

），使△PEM是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要涉及直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，（2）②要根據(jù)等腰三角形腰的不同進(jìn)行分情況討論，根據(jù)題目圖形，點(diǎn)M在x軸下方的情況可以舍去不予考慮．