Question

如圖，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)C、D，問PC與PD相等嗎？試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：先過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，構(gòu)造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，這兩個(gè)三角形已具備兩個(gè)條件：90°的角以及PE=PF，只需再證∠EPC=∠FPD，根據(jù)已知，兩個(gè)角都等于90°減去∠CPF，那么三角形全等就可證．
解答：解：PC與PD相等．理由如下：
過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F．
∵OM平分∠AOB，點(diǎn)P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）
又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴四邊形OEPF為矩形，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPC+∠CPF=90°，
又∵∠CPD=90°，
∴∠CPF+∠FPD=90°，
∴∠EPC=∠FPD=90°-∠CPF．
在△PCE與△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC=PD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及四邊形的內(nèi)角和是360°、還有三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)．正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．