【題目】如圖①,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,在BC邊上取兩點(diǎn)E、F(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),以EF為邊所作等邊△PEF,頂點(diǎn)P恰好在AD上,直線PE、PF分別交直線AC于點(diǎn)G、H.
(1)求△PEF的邊長(zhǎng);
(2)若△PEF的邊EF在線段CB上移動(dòng),試猜想:PH與BE有何數(shù)量關(guān)系?并證明你猜想的結(jié)論;
(3)若△PEF的邊EF在射線CB上移動(dòng)(分別如圖②和圖③所示,CF>1,P不與A重合),(2)中的結(jié)論還成立嗎?若不成立,直接寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的新結(jié)論.
【答案】(1)、2;(2)、PH-BE=1、證明過(guò)程見(jiàn)解析;(3)、當(dāng)1<CF<2時(shí),PH=1﹣BE,當(dāng)2<CF<3時(shí),PH=BE﹣1.
【解析】
試題分析:(1)、過(guò)P作PQ⊥BC,垂足為Q,由四邊形ABCD為矩形,得到∠B為直角,且AD∥BC,得到PQ=AB,又△PEF為等邊三角形,根據(jù)“三線合一”得到∠FPQ為30°,在Rt△PQF中,設(shè)出QF為x,則PF=2x,由PQ的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出x的值,即可得到PF的長(zhǎng),即為等邊三角形的邊長(zhǎng);(2)、
PH﹣BE=1,過(guò)E作ER垂直于AD,如圖所示,首先證明△APH為等腰三角形,在根據(jù)矩形的對(duì)邊平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,可得∠APE=60°,在Rt△PER中,∠REP=30°,根據(jù)直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,由PE求出PR,由PA=PH,則PH﹣BE=PA﹣BE=PA﹣AR=PR,即可得到兩線段的關(guān)系;(3)、當(dāng)若△PEF的邊EF在射線CB上移動(dòng)時(shí)(2)中的結(jié)論不成立,由(2)的解題思路可知當(dāng)1<CF<2時(shí),PH=1﹣BE,當(dāng)2<CF<3時(shí),PH=BE﹣1.
試題解析:(1)、過(guò)P作PQ⊥BC于Q(如圖1), ∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠B=90°,即AB⊥BC,
又∵AD∥BC, ∴PQ=AB=, ∵△PEF是等邊三角形, ∴∠PFQ=60°,
在Rt△PQF中,∠FPQ=30°, 設(shè)PF=2x,QF=x,PQ=,根據(jù)勾股定理得:,
解得:x=1,故PF=2, ∴△PEF的邊長(zhǎng)為2;
(2)、PH﹣BE=1,理由如下: ∵在Rt△ABC中,AB=,BC=3, ∴由勾股定理得AC=2,
∴CD=AC, ∴∠CAD=30° ∵AD∥BC,∠PFE=60°, ∴∠FPD=60°, ∴∠PHA=30°=∠CAD,
∴PA=PH, ∴△APH是等腰三角形, 作ER⊥AD于R(如圖2) Rt△PER中,∠RPE=60°, ∴PR=PE=1,
∴PH﹣BE=PA﹣BE=PR=1.
(3)、結(jié)論不成立,
當(dāng)1<CF<2時(shí),PH=1﹣BE, 當(dāng)2<CF<3時(shí),PH=BE﹣1.
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【題目】已知兩個(gè)有理數(shù)a,b,如果ab<0且a+b>0,那么( 。
A. a>0,b>0
B. a<0,b>0
C. a、b同號(hào)
D. a、b異號(hào),且正數(shù)的絕對(duì)值較大
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【題目】設(shè)A、B兩鎮(zhèn)相距x千米,甲從A鎮(zhèn)、乙從B鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā),相向而行,甲、乙行駛的速度分別為u千米/小時(shí)、v千米/小時(shí),并有:①出發(fā)后30分鐘相遇;②甲到B鎮(zhèn)后立即返回,追上乙時(shí)又經(jīng)過(guò)了30分鐘;③當(dāng)甲追上乙時(shí)他倆離A鎮(zhèn)還有4千米.求x、u、v.根據(jù)題意,由條件③,有四位同學(xué)各得到第3個(gè)方程如下,其中錯(cuò)誤的一個(gè)是( 。
A.x=u+4
B.x=v+4
C.2x-u=4
D.x-v=4
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【題目】(3分)一只不透明的袋子中裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球,每個(gè)球除顏色外都相同,從中任意摸出3個(gè)球,下列事件為必然事件的是( )
A.至少有1個(gè)球是黑球
B.至少有1個(gè)球是白球
C.至少有2個(gè)球是黑球
D.至少有2個(gè)球是白球
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【題目】正方形在太陽(yáng)光的投影下得到的幾何圖形一定是( )
A. 正方形 B. 平行四邊形或線段 C. 矩形 D. 菱形
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【題目】盒子里有若干個(gè)大小相同的白球和紅球,從中任意摸出一個(gè)球,摸到紅球得2分,摸到白球得3分.某人摸到x個(gè)紅球,y個(gè)白球,共得12分.列出關(guān)于x、y的二元一次方程:
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【題目】長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5cm , 寬是2b cm , 周長(zhǎng)為a cm . 列出符合題意的方程.
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【題目】(8分)在學(xué)校組織的科學(xué)素養(yǎng)競(jìng)賽中,每班參加比賽的人數(shù)相同,成績(jī)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí),其中相應(yīng)等級(jí)的得分依次記為90分,80分,70分,60分,學(xué)校將八年級(jí)一班和二班的成績(jī)整理并繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖:
請(qǐng)你根據(jù)以上提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)此次競(jìng)賽中二班成績(jī)?cè)?0分及其以上的人數(shù)有_____人;
(2)補(bǔ)全下表中空缺的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量:
平均數(shù)(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | |
一班 | 77.6 | 80 | _____ |
二班 | _____ | _____ | 90 |
(3)請(qǐng)根據(jù)上述圖表對(duì)這次競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行分析,寫(xiě)出兩個(gè)結(jié)論.
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