Question

已知方程|x²-4|-a-1=0有4個實根，則實數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   a=0
2. B.
   -1＜a≤0
3. C.
   -1＜a＜3
4. D.
   a≥3

Answer 1

C
分析：先把方程變形為：|x²-4|=a+1，再根據(jù)方程有4個實根，則a+1＞0，即a＞-1；去絕對值得x²-4=±（a+1），然后討論當x²-4=a+1時，此方程有兩個不等根；當x²-4=-（a+1）時，即x²=-a+3，此方程要有兩個不等根，得到-a+3＞0．最后確定實數(shù)a的取值范圍
解答：方程變形為：|x²-4|=a+1，
∵方程|x²-4|=a+1有4個實根，
∴a+1＞0，即a＞-1．
∴x²-4=±（a+1）．
當x²-4=a+1時，即x²=a+5，因為a＞-1．所以此方程有兩個不等根；
當x²-4=-（a+1）時，即x²=-a+3，此方程要有兩個不等根，所以-a+3＞0，解得a＜3．
方程|x²-4|-a-1=0有4個實根，則實數(shù)a的取值范圍為-1＜a＜3．
故選C．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了絕對值的含義以及運用分類討論的思想解決絕對值方程的方法．