【題目】如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1).以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作∠CAD=90°,射線AC交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,射線AD交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D.
(1)求直線AB的解析式;
(2)OD﹣OC的值是否為定值?如果是,求出它的值;如果不是,求出它的變化范圍;
(3)平面內(nèi)存在點(diǎn)P,使得A、B、C、P四點(diǎn)能構(gòu)成菱形,
①P點(diǎn)坐標(biāo)為 ;
②點(diǎn)Q是射線AC上的動(dòng)點(diǎn),求PQ+DQ的最小值.
【答案】解:(1) y=x+1
(2) 是定值;OD-OC=8;
(3) ①(-4,-1) ②PQ+DQ的最小值為
【解析】解:(1)設(shè)直線AB的解析式為:y=kx+b(k≠0),∵點(diǎn)A(﹣4,4),點(diǎn)B(0,1)在直線AB上,∴ ,解得: ,∴直線AB的解析式為: ;
(2)是定值.理由如下:
過點(diǎn)A分別作x軸,y軸的垂線,垂足分別為E,F(如答圖),可得∠AED=∠AFC=90°,又∵∠BOD=90°,∴∠EAF=90°,即∠CAE+∠CAF=90°,∵∠CAD=90°,即∠CAE+∠DAE=90°,∴∠DAE=∠CAF,∵A(﹣4,4),∴OE=AF=AE=OF=4,在△AED和△AFC中,∵∠DAE=∠CAF,AE=AF,∠AED=∠AFC=90°,∴△AED≌△AFC(ASA),∴ED=FC,∴OD﹣OC=(OE+ED)﹣(FC﹣OF)=OE+OF=8,則OD﹣OC的值不發(fā)生變化,值為8;
(3)①∵菱形的對角線互相垂直,而AB和BC顯然不可能垂直,∴AB和BC只能是鄰邊,∵AB= =5,∴BC=5,∴C(0,-4),設(shè)P(x,y),則由菱形對角線互相平分和中點(diǎn)坐標(biāo)公式有: , ,解得:x=-4,y=-1.∴P(-4,-1).
②∵菱形ABCP中,B、P關(guān)于AC對稱, ∴PQ=BQ, ∴(PQ+DQ)min=(BQ+DQ)min=BD
∵BC=BA=5,∴OC=4
由(2)得,OD=OC+8=12, ∴Rt△BOD中,
答:PQ+DQ的最小值為.
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【題目】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.
(1)如圖1,若AB∥CD,點(diǎn)P在AB、CD外部,則有∠B=∠BOD,又因∠BOD是△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D.得∠BPD=∠B﹣∠D.將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部,如圖2,以上結(jié)論是否成立?若成立,說明理由;若不成立,則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論;
(2)在如圖2中,將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q,如圖3,則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系?(不需證明);
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).
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【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系中,過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線,若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積在數(shù)量上相等,則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn).
(1)判斷點(diǎn)M(﹣1,2),N(﹣4,﹣4)是否為和諧點(diǎn),并說明理由;
(2)若和諧點(diǎn)P(a,3)在直線y=﹣x+b(b為常數(shù))上,試求a,b的值.
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【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB是⊙O的直徑,OD⊥AB于點(diǎn)O,分別交AC、CF于點(diǎn)E、D,且DE=DC.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為5,BC=,求DE的長.
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