Question

如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=-

8

x

的圖象交于A，B兩點，且A點的橫坐標與B點的縱坐標都是-2；①求一次函數(shù)的解析式②觀察圖象，x為何值時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)？③求△AOB的面積．④在直線AB上是否存在點P，使S_△POA=2S_△AOB，若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：①分別把x=-2和y=-2代入反比例函數(shù)的解析式，求出A、B的坐標，代入一次函數(shù)的解析式，得出方程組，求出方程組的解即可；
②根據(jù)兩函數(shù)交點的坐標，觀察圖象即可得出答案；
③求出D的坐標，求出△AOD和△BDO的面積，相加即可；
④根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系和三角形的面積公式得出PA=2AB，求出AB的值，設(shè)P（x，-x+2），根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答：①解：把x=-2代入y=-

8

x

得：y=4，
把y=-2代入y=-

8

x

得：x=4，
∴A（-2，4），B（4，-2），
代入y=kx+b得：

4=-2k+b -2=4k+b

，
解得：k=-1，b=2，
∴一次函數(shù)的解析式是：y=-x+2．

②解：∵A（-2，4），B（4，-2），
通過圖象可知：當x＜-2或0＜x＜4時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)．

③解：當x=0時，y=-x+2=2，
∴D（0，2），
即OD=2，
∴△AOB的面積是S=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×2×|-2|+

1

2

×2×4=6，
答：△AOB的面積是6．

④解：存在，
理由是：∵P在直線y=-x+2上，
設(shè)P（x，-x+2），
∵S_△AOP=2S_△AOB，
∵△AOB的邊AB上的高和△POA的邊AP上的高相等，
∴AP=2AB，
由勾股定理得：AB=

(-2-4)2+(4+2)2

=6

2

，
∴PA=12

2

，
即（x+2）²+（-x+2-4）²=（12

2

）²，
解得：x₁=-14，x₂=10，
當x=-14時，y=-x+2=16，
當x=10時，y=-x+2=-8，
∴P的坐標是（-14，16）或（10，-8）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，勾股定理，三角形的面積，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題等知識點的運用，主要培養(yǎng)了學生運用性質(zhì)進行計算的能力，同時也培養(yǎng)了學生的觀察圖形的能力，本題綜合性比較強，用了數(shù)形結(jié)合思想．