如圖,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,2),N(1,-2)的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).
(1)求b的值.
(2)若OC2=OA•OB,試求拋物線的解析式.
(3)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PAC的周長(zhǎng)最小?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意可知,將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式列的方程組,解方程組即可求得b的值;
(2)根據(jù)(1)可求得僅有一個(gè)未知系數(shù)的解析式y(tǒng)=ax2-2x-a,根據(jù)已知得:OC=a,OA=-x1,OB=x2,所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,列方程求得a的值,求得二次函數(shù)的解析式;
(3)首先要確定點(diǎn)P的位置,即找到點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B,直線BC與函數(shù)對(duì)稱軸的交點(diǎn)即是所求的P點(diǎn);求得直線BC的解析式即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
解答:解:(1)將M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式,得

②-①,得
2b=-4
∴b=-2.

(2)由(1)b=-2,a+c=0
所以拋物線的解析式可寫為y=ax2-2x-a
則C(0,-a)
設(shè)A(x1,0),B(x2,0)
則x1,x2是方程ax2-2x-a=0的二根
從而x1x2=-1
由所給圖形可知OC=a,OA=-x1,OB=x2
∵OC2=OA•OB
∴a2=-x1x2
∴a2=1
∴a=1(a>0)
∴拋物線解析式為y=x2-2x-1.

(3)在拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P,使△PAC的周長(zhǎng)最�。�
∵AC長(zhǎng)為定值
∴要使△PAC的周長(zhǎng)最小,只需PA+PC最小
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是B,由幾何知識(shí)知PA+PC=PB+PC,BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求點(diǎn)P.
由(2)知B(+1,0),C(0,-1),經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(+1,0),C(0,-1)的直線為y=(-1)x-1,
當(dāng)x=1時(shí),y=-2.
即P(1,-2).
點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí),要注意待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,還要注意根與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

17、按要求畫圖:
(1)如圖,要從小河引水到村莊A,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)并作出一條最佳路線;

(2)如圖,經(jīng)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,作DF∥CB交AB于點(diǎn)F.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•南通)如圖,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-4)的拋物線y=
1
2
x2+bx+c與x軸相交于B(-2,0),C兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)將拋物線y=
1
2
x2+bx+c向上平移
7
2
個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線,若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi),求m的取值范圍;
(3)設(shè)點(diǎn)M在y軸上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•遼陽(yáng))如圖,⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D、E,BD是⊙O的直徑,∠C=90°,BE平分∠ABC.
(1)試說(shuō)明直線AC是⊙O的切線;
(2)當(dāng)AE=4,AD=2時(shí),求⊙O的半徑及BC的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•南通)如圖,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-2,0)的直線y=kx+b與直線y=4x+2相交于點(diǎn)A(-1,-2),則不等式4x+2<kx+b<0的解集為
-2<x<-1
-2<x<-1

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•北碚區(qū)模擬)如圖,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)的一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)與反比例函數(shù)y=
k
x
(k≠0)的圖象相交于P、Q兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸于點(diǎn)B.已知tan∠PAB=
3
2
,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)一次函數(shù)與y軸相交于點(diǎn)C,求四邊形OBPC的面積.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞剧洴楠炴﹢鎳犻澶嬓滈梻浣规偠閸斿秶鎹㈤崘顔嘉﹂柛鏇ㄥ灠閸愨偓濡炪倖鍔﹀鈧紒顔煎缁辨挻鎷呴幓鎺嶅濠电姰鍨煎▔娑㈩敄閸曨厽宕查柛鈩冪⊕閻撳繘鏌涢锝囩畺闁革絾妞介弻娑㈡晲閸涱喛纭€缂備浇椴哥敮锟犲箖閳哄懏顥堟繛鎴炲笚閻庝即姊绘担鍛婃儓闁活剙銈稿畷浼村冀椤撶姴绁﹂梺纭呮彧缁犳垹绮诲☉銏♀拻闁割偆鍠撻埊鏇熴亜閺傚灝顏慨濠勭帛閹峰懘宕ㄦ繝鍌涙畼濠电儑绲藉ú锕€顪冩禒瀣櫜闁绘劖娼欑欢鐐烘煙闁箑鍔﹂柨鏇炲€归悡鏇㈡煛閸ャ儱濡奸柣蹇曞У娣囧﹪顢曢敐蹇氣偓鍧楁煛鐏炲墽娲撮柍銉畵楠炲鈹戦崶鈺€澹曠紓鍌氬€风粈渚€顢栭崨顖涘床闁圭増婢橀悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿﹦鍏橀弻銈囧枈閸楃偛顫梺鍛婃煥閹诧紕鎹㈠☉姘e亾濞戞瑡缂氶柣顓滃€曢湁婵犲﹤绨肩花缁樸亜閺囶亞绋荤紒缁樼箓椤繈顢橀悢鍓蹭户闂傚倷鑳剁划顖涚仚闁诲繐绻戦悷鈺佺暦閹扮増鍊烽柣鎴炃氶幏娲煟鎼粹剝璐″┑顔炬暬婵℃挳宕橀埡鈧换鍡涙煟閹邦厽缍戞繛鎼枟椤ㄣ儵鎮欏顔煎壉濡炪倧濡囨晶妤呭箚閺冨牊鏅查柛銉╊棑鎼村﹪姊婚崒娆掑厡缂侇噮鍨跺畷婵嬫晝閸屾氨顦┑鐐叉閹稿摜绮堟径鎰厪闁割偅绻冮ˉ鎾趁瑰⿰鍕煁闁靛洤瀚伴獮妯兼崉閻╂帇鍨介弻娑樜熼搹瑙勬喖濡炪們鍔婇崕鐢稿箖濞嗘挸绠甸柟鐑樻尰椤斿嫰姊洪崜褏甯涢柣妤冨█瀵鈽夊Ο閿嬵潔闂佸憡顨堥崑鐐烘倶閸喓绠鹃悗鐢登归宀勬煕濞嗗繐鏆欐い顐㈢箻閹煎綊宕烽鐙呯床婵犳鍠楅〃鍛涘▎鎾村仼闁割偅娲橀埛鎴犵磽娴g櫢渚涙繛鍫熸閺屻劑寮撮妸銈夊仐闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺灥婵悂鏌f惔锛勭暛闁稿骸宕灋鐎光偓閸曨偆顔嗗┑鐐叉▕娴滄繈鍩涢幋锔界厱婵炴垶锕崝鐔虹磼閻樿櫕宕岄柟顔筋殔椤繈鎮℃惔锛勭潉闂備浇妗ㄧ粈浣虹矓閻熼偊鍤曟い鏇楀亾鐎规洘甯掗オ浼村椽閸愵亜绨ラ梻鍌氬€风粈渚€骞栭銈嗗仏妞ゆ劧绠戠壕鍧楁煙閹澘袚闁稿鏅滅换娑橆啅椤旇崵鍑归梺缁樻尰缁嬫垿婀侀梺鎸庣箓閹冲繘骞夐幖浣告瀬闁割偅鎯婇弮鍫熷亹闂傚牊绋愮划璺衡攽閻愬弶鈻曢柛娆忓暣婵″瓨绗熼埀顒€顕f禒瀣垫晣闁绘劙娼ч獮鎰版⒒娴e憡鍟為柛鏃€鍨垮畷婵嗩吋婢跺鈧爼鏌涢鐘插姕闁稿﹦鏁婚幃宄扳枎韫囨搩浠剧紓浣插亾闁告劏鏂傛禍婊堟煏婵炲灝鍔甸棅顒夊墯椤ㄣ儵鎮欑拠褑鍚悗娈垮枙缁瑩銆佸鈧幃娆撴濞戞ḿ顔囬梻鍌氬€风粈渚€骞夐敓鐘茬闁硅揪绠戠粈澶愬箹濞n剙濡肩痪鎯х秺閺屻劑鎮ら崒娑橆伓

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