Question

已知一次函數(shù)y₁ = 2x和二次函數(shù)y₂ = x² + 1。
【小題1】求證：函數(shù)y₁、y₂的圖像都經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)；
【小題2】求證：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于任意同一個(gè)x的值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁ ≤ y₂總成立；
【小題3】是否存在拋物線y₃ = ax² + bx + c，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，2)，且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于同一個(gè)x的值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁ ≤ y₃ ≤ y₂總成立？若存在，求出y₃的解析式；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

【小題1】如果經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，那么y₁=y₂，即2x= x² + 1
x=1
把x=1代入到一次函數(shù)中得  y=2
∴函數(shù)y₁、y₂的圖像都經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)（1，2）（3分）
【小題2】∵y₂- y₁= x² + 1-2x= （x-1）²≥0
∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于任意同一個(gè)x的值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁ ≤ y₂總成立；（3分）
【小題3】存在
∵三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁ ≤ y₃ ≤ y₂總成立
∴拋物線y₃ = ax² + bx + c也必經(jīng)（1，2）
把（1，2）和（-5，2）代入拋物線y₃ = ax² + bx + c中解得：
（4分）解析:
（1）利用y₁=y₂，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)從而得證；
（2）求出y₂- y₁關(guān)于x的方程進(jìn)行變形討論出結(jié)論；
（3）要符合y₁ ≤ y₃ ≤ y₂條件，就必然得出拋物線y₃ = ax² + bx + c也必經(jīng)（1，2），然后把（1，2）和（-5，2）代入就得出解析式。