Question

【題目】如圖，在 ABC 中，BD 平分ABC 交 AC 于 D ，EF 垂直平分 BD ，分別交 AB, BC, BD于 E, F , G ，連接 DE, DF 。

（1）求證：四邊形 BEDF 為菱形；

（2）若ABC 30, C 45, DE 4 ，求CF 的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得：DE=BE，DF=FB，證明△BEG≌△BFG（ASA），根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得：四邊形DFBE是平行四邊形，再由一組鄰邊相等的平行四邊是菱形可得結(jié)論；

（2）過D作DH⊥CF于H．在Rt△DFH中，求出DH、FH，在Rt△DHC中，求出CH即可解決問題；

（1）證明：∵EF是BD的垂直平分線，
∴DE=EB，DF=BF，∠EGB=∠FGB=90°，DG=BG
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG=∠FBG，
∵BG=BG，
∴△BEG≌△BFG（ASA），
∴GE=GF，
∴四邊形DFBE是平行四邊形，
∵DE=BE，
∴四邊形DFBE是菱形；

（2）解：過D作DH⊥CF于H．

∵四邊形BFDE是菱形，
∴DF∥AB，DE=DF=4．
在Rt△DFH中，∠DFC=∠ABC=30°，

在Rt△CDH中，∠C=45°，
∴DH=HC=2，