Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）

（1）若△CEF與△ABC相似．
①當(dāng)AC=BC=2時，AD的長為　   　；
②當(dāng)AC=3，BC=4時，AD的長為　   　；
（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由．

Answer 1

解：（1）①。
②或。
（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時，△CEF與△ABC相似。理由如下：
如答圖3所示，連接CD，與EF交于點(diǎn)Q，

∵CD是Rt△ABC的中線，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B。
由折疊性質(zhì)可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°。
∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A。
又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA。

（1）若△CEF與△ABC相似．
①當(dāng)AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示，

此時D為AB邊中點(diǎn)，AD=AC=。
②當(dāng)AC=3，BC=4時，有兩種情況：
（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示，

∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC。
由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高。
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5。
∴cosA=�！郃D=AC•cosA=3×=。
（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示．
∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B。
由折疊性質(zhì)可知，∠CEF+∠ECD=90°。
又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD。
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD。∴AD=BD。
∴此時AD=AB=×5=．
綜上所述，當(dāng)AC=3，BC=4時，AD的長為或。
（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時，△CEF與△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，從而可以證明兩個三角形相似。