Question

（2006•福州）我們知道，“直角三角形斜邊上的高線將三角形分成兩個(gè)與原三角形相似的直角三角形”用這一方法，將矩形ABCD分割成大小不同的七個(gè)相似直角三角形．按從大到小的順序編號(hào)為①至⑦（如圖），從而割成一副“三角七巧板”．已知線段AB=1，∠BAC=θ．
（1）請(qǐng)用θ的三角函數(shù)表示線段BE的長______；
（2）圖中與線段BE相等的線段是______；
（3）仔細(xì)觀察圖形，求出⑦中最短的直角邊DH的長．（用θ的三角函數(shù)表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）可在直角三角形ABE中，用AB的長和正弦函數(shù)來求出BE．
（2）應(yīng)該是DF，因?yàn)榫匦蜛BCD中，AB=CD，∠BAC=∠ACD=θ，那么DF也應(yīng)該是sinθ，因此BE=DF．（也可用全等來證明）
（3）由于這些三角形都相似，那么∠DFG=∠DGH=∠ACD=θ，那么可先在直角三角形FGD中，用FG和正弦函數(shù)求出GD，然后在直角三角形GHD中，用DG和正弦函數(shù)求出DH．
解答：解：（1）∵sinθ=，AB=1，
∴BE=sinθ．

（2）∵AB=CD，∠BAC=∠ACD=θ，
∴DF也應(yīng)該是sinθ，
∴BE=DF．

（3）解：由（1）（2）知DF=BE=sinθ，
由題意得Rt△DFG∽R(shí)t△CAB，
∴∠DFG=∠CAB=θ．
在Rt△DFG中，
∵sin∠DFG=，DF=sinθ，
∴DG=sin²θ．
∵Rt△DGH∽R(shí)t△DFG，
∴∠DGH=∠DFG=θ．
在Rt△DGH中，
sin∠DGH=，DG=sin²θ，
∴DH=sin³θ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和解直角三角形的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知和所求的條件正確的選用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．