Question

已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點F
（1）如圖1，若∠ACD=60゜，則∠AFB=

120°

；
（2）如圖2，若∠ACD=α，則∠AFB=

180°-α

（用含α的式子表示）；
（3）將圖2中的△ACD繞點C順時針旋轉任意角度（交點F至少在BD、AE中的一條線段上），如圖3．試探究∠AFB與α的數量關系，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）求出∠ACE=∠DCB，證△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根據三角形內角和定理求出即可；
（2）求出∠ACE=∠DCB，證△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根據三角形內角和定理求出即可；
（3）求出∠ACE=∠DCB，證△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CEB+∠CBE，根據三角形內角和定理求出即可．

解答：解：（1）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB

∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE
=∠CDA+∠DAE+∠BAE
=∠CDA+∠DAC
=180°-60°
=120°，
故答案為：120°．

（2）解：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB

∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE
=∠CDA+∠DAE+∠BAE
=∠CDA+∠DAC
=180°-∠ACD
=180°-α，
故答案為：180°-α

（3）∠AFB=180-α，
證明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB

∴△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，
∴∠AFB=∠AEC+∠CEB+∠EBD
=∠DBC+∠CEB+∠EBC
=∠CEB+∠EBC
=180°-∠ECB
=180°-α，
即∠AFB=180°-α

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形外角性質，三角形的內角和定理的應用，關鍵是推出△ACE≌△DCB．