Question

Rt△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的初始位置如圖1所示，∠C=90°，AB=6，AC=3，點A在x軸上由原點O開始向右滑動，同時點B在y軸上也隨之向點O滑動，如圖2所示；當(dāng)點B滑動至點O重合時，運動結(jié)束．在上述運動過程中，⊙G始終以AB為直徑．

（1）試判斷在運動過程中，原點O與⊙G的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）設(shè)點C坐標(biāo)為（x，y），試求出y與x的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）根據(jù)對問題（1）、（2）的探究，請你求出整個過程中點C運動的路徑的長．

Answer 1

解：（1）原點O與⊙G的位置關(guān)系是：點O在⊙G上；
如圖3，連接OG，∵∠AOB是直角，G為AB中點，
∴GO=AB=半徑，故原點O始終在⊙G上．

（2）∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，∴∠ABC=30°．
連接OC，過點C作CD⊥x軸于點D，如圖4，
∴∠AOC=∠ABC=30°，
在Rt△ODC中，tan∠COD=，即tan30°=，
∴y與x的關(guān)系式是：．
自變量x的取值范圍是．

（3）∵由（2）中的結(jié)論可知，點C在與x軸夾角為30°的射線上運動．
∴如圖5，點C的運動路徑為：C₁C₂=OC₂-OC₁=6-3=3；
如圖6，點C的運動路徑為：C₂C₃=OC₂-OC₃=6-3；
∴總路徑為：C₁C₂+C₂C₃=．

分析：（1）因為OG始終是⊙G的半徑，所以原點O始終在⊙G上；
（2）運動過程中，弧AC的長保持不變，弧AC所對應(yīng)的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，∠xOC=30°，y=．即自變量x的取值范圍是 ≤x≤3 ；
（3）利用勾股定理可求得，點C運動的路程s=3 ．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．