Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點C(0，3)，與x軸分別交于點A，點B(3，0)，AB=4．

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式；

(2)點M是二次函數(shù)對稱軸上一動點，當(dāng)點M運動到什么位置時，△ACM的周長最小？求出此時M點的坐標(biāo)；

(3)點P是直線BC上方的拋物線上一動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）(1，2)（3）當(dāng)點P的坐標(biāo)為(，)時，四邊形ACPB的最大面積值為

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）要使△ACM的周長最小，AC長不變，即為AM+CM的和最小, 點A、點B關(guān)于對稱軸對稱，所以點M為對稱軸與直線BC的交點；

（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PQ的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

(1)因為AB=4，所以A點的坐標(biāo)(－1，0)，

將點A、點B和點C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

,解得

二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3；

(2)對稱軸x=1，要使△ACM的周長最小，AC長不變，即為AM+CM的和最小．

點A、點B關(guān)于對稱軸對稱，所以點M為對稱軸與直線BC的交點．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t，

將點B和點C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

解得

直線BC的解析為y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時，y=2.則M(1，2)

(3)如圖2，過點P，PF⊥x軸，交CB于點Q

P在拋物線上，設(shè)P(m，﹣m2+2m+3)，

直線BC的解析為y=﹣x+3，

設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m，﹣m+3)，

PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m．

AB=4，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=ABOC+PQOF+PQFB

=×4×3+（-m2+3m）×3

=-（m-）2+，

當(dāng)m=時，四邊形ABPC的面積最大．

當(dāng)m=時，-m2+2m+3=，即P點的坐標(biāo)為（，）．

當(dāng)點P的坐標(biāo)為（，）時，四邊形ACPB的最大面積值為．