Question

【題目】閱讀以下兩則材料，解決后續(xù)問題：

材料一：我們可以將任意三位數(shù)記為(其中a,b,c,分別表示該數(shù)的百位數(shù)字、十位數(shù)字和個位數(shù)字，且a≠0，顯然=100a+10b+c.

材料二：若一個三位數(shù)的三個數(shù)字均不為0且三個數(shù)字互不相等，則稱之為原始數(shù)，比如123就是一個原始數(shù).將原始數(shù)的三個數(shù)位數(shù)字交換順序，可產(chǎn)生出5個新的原始數(shù)，比如由123可以產(chǎn)生出132、213、231、312、321這5個新原始數(shù).將這6個數(shù)相加，得到的和1332稱為由原始數(shù)123生成的終止數(shù).

問題：（1）求原始數(shù)247生成的終止數(shù)；

（2）試說明所有的原始數(shù)生成的終止數(shù)都能被222整除；

（3）若一個原始數(shù)生成的終止數(shù)為，求滿足條件的所有原始數(shù).

Answer 1

【答案】（1）2886；（2）證明見解析；（3）124、142、214、241、412、421.

【解析】

（1）先求出247產(chǎn)生的原始數(shù)，再求出6個原始數(shù)的和即可；（2）設原始數(shù)為=100a+10b+c，可用a、b、c表示出產(chǎn)生的原始數(shù)，進而求出終止數(shù)，即可得結(jié)論；（3）根據(jù)各原始數(shù)的和與終止數(shù)相等，可得出原始數(shù)各數(shù)位上數(shù)字的和，根據(jù)三個數(shù)字均不為0且三個數(shù)字互不相等，寫出滿足條件的所有原式數(shù)即可.

（1）∵由247設原始數(shù)為=100a+10b+c，274、427、472、724、742五個原始數(shù)，

∴原始數(shù)247生成的終止數(shù)為247+274+427+472+724+742=2886.

（2）設原始數(shù)為=100a+10b+c，

可以產(chǎn)生出100a+10c+b、100b+10a+c、100b+10c+b、100c+10a+b、100c+10b+a五個原始數(shù)，

∴它們生成的終止數(shù)為：

100a+10b+c+100a+10c+b+100b+10a+c+100b+10c+b+100c+10a+b+100c+10b+a=222(a+b+c)，

∴所有的原始數(shù)生成的終止數(shù)都能被222整除.

（3）由（2）得原始數(shù)生成的終止數(shù)為222（a+b+c），

∵一個原始數(shù)生成的終止數(shù)為1554，

∴222（a+b+c）=1554，

∴a+b+c=7，

∵三個數(shù)字均不為0且三個數(shù)字互不相等，

∴滿足條件的所有原始數(shù)為124、142、214、241、412、421.