Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E為AB的中點，在AC上求作點P，使EP+BP的值最�。�
（1）畫出點P的位置（保留作圖痕跡，不寫畫法）；
（2）若AD=6，∠DAC=30°，求EP+BP的最小值．

Answer 1

分析：（1）連接DE交AC與點P或在AD邊上取中點E′，再連接BE′交AC于點P都可以；
（2）首先證明△ABC≌△ADC，進而得出△ABD為等邊三角形，由“三線合一”得DE⊥AB，最后用勾股定理求得EP+BP的最小值等于DE．

解答：解：（1）畫法如圖（連接DE交AC與點P或在AD邊上取中點E′，再連接BE′交AC于點P都正確），
；

（2）如圖3，連接BD，
∵在△ABC和△ADC中，

AD=AB DC=CB AC=AC

∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAB=2∠DAC=60°，
∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
由“三線合一”得DE⊥AB，
故EP+BP的最小值為：PE+PB=DE=

AD2-AE2

=

36-9

=3

3

．

點評：此題主要考查了軸對稱最短路線求法以及全等三角形的判定和等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出DE=PE+PB是解題關(guān)鍵．