Question

如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，在移動(dòng)過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長(zhǎng)分別為4cm，3cm，設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x（s），線段GP的長(zhǎng)為y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)y=3時(shí)相應(yīng)x的值；
（2）記△DGP的面積為S₁，△CDG的面積為S₂．試說(shuō)明S₁-S₂是常數(shù)；
（3）當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意表示出AG、GD的長(zhǎng)度，再由△GCD∽△APG，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S₁、S₂，然后作差即可．
（3）延長(zhǎng)PD交AC于點(diǎn)Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）∵CG∥AP，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠AGP，
∴△GCD∽△APG，
∴=，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，
∴GD=3-x，AG=4-x，
∴=，即y=，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=，
當(dāng)y=3時(shí)，=3，解得x=2.5，
經(jīng)檢驗(yàn)的x=2.5是分式方程的根．
故x的值為2.5；

（2）∵S₁=GP•GD=••（3-x）=（cm²），
S₂=GD•CD=（3-x）×1=（cm²），
∴S₁-S₂=-=（cm²），即為常數(shù)；

（3）延長(zhǎng)PD交AC于點(diǎn)Q．
∵正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，
∴3-x=，
化簡(jiǎn)得：x²-5x+5=0．
解得：x=，
∵0≤x≤2.5，
∴x=，
在Rt△DGP中，PD==（3-x）=（cm）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是用移動(dòng)的時(shí)間表示出有關(guān)線段的長(zhǎng)度，然后運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．