解:(1)過點P作PQ⊥BC于點Q,
有題意可得:PQ∥AB,
∴△CQP∽△CBA,
∴
=
,
∴
=
,
解得:QP=
x,
∴PM=3-
x,
由題意可知,C(0,3),M(x,0),N(4-x,3),
P點坐標為(x,3-
x).
(2)設(shè)△NPC的面積為S,在△NPC中,NC=4-x,
NC邊上的高為
,其中,0≤x≤4.
∴S=
(4-x)×
x=
(-x
2+4x)
=-
(x-2)
2+
.
∴S的最大值為
,此時x=2.
(3)延長MP交CB于Q,則有PQ⊥BC.
①若NP=CP,
∵PQ⊥BC,
∴NQ=CQ=x.
∴3x=4,
∴x=
.
②若CP=CN,則CN=4-x,PQ=
x,CP=
x,4-x=
x,
∴x=
;
③若CN=NP,則CN=4-x.
∵PQ=
x,NQ=4-2x,
∵在Rt△PNQ中,PN
2=NQ
2+PQ
2,
∴(4-x)
2=(4-2x)
2+(
x)
2,
∴x=
.
綜上所述,x=
,或x=
,或x=
.
分析:(1)求P點的坐標,也就是求OM和PM的長,已知了OM的長為x,關(guān)鍵是求出PM的長,方法不唯一,①可通過PM∥OC得出的對應成比例線段來求;
②也可延長MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根據(jù)CQ的長和∠ACB的正切值求出PQ的長,然后根據(jù)PM=AB-PQ來求出PM的長.得出OM和PM的長,即可求出P點的坐標.
(2)可按(1)②中的方法經(jīng)求出PQ的長,而CN的長可根據(jù)CN=BC-BN來求得,因此根據(jù)三角形的面積計算公式即可得出S,x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)本題要分類討論:
①當CP=CN時,可在直角三角形CPQ中,用CQ的長即x和∠ABC的余弦值求出CP的表達式,然后聯(lián)立CN的表達式即可求出x的值;
②當CP=PN時,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的長,然后根據(jù)QN=CN-CQ求出QN的表達式,根據(jù)題設(shè)的等量條件即可得出x的值.
③當CN=PN時,先求出QP和QN的長,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN的長,聯(lián)立CN的表達式即可求出x的值.
點評:本題主要考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應用等知識點.