Question

如圖①所示，已知A，B為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上方一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，分別以AC、BC為直角邊向△ABC外作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，滿足∠CAD=∠CBE=90°，過(guò)點(diǎn)D作DD₁⊥l于點(diǎn)D₁，過(guò)點(diǎn)E作EE₁⊥l于點(diǎn)E₁．
（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線l上時(shí)，試說(shuō)明DD₁=AB；
（2）在圖①中，當(dāng)D，E兩點(diǎn)都在直線l的上方時(shí)，試探求三條線段DD₁，EE₁，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵△CAD、△CBE是等腰直角三角形，且∠CAD=∠CBE=90°，
∴AC=AD，BC=BE，
∴∠ABC=90°．∠DAD₁+∠CAB=90°．
∵DD₁⊥l，
∴∠DD₁A=90°，
∴∠DD₁A=∠ABC．
∵∠CAB+∠ACB=90°，
∴∠DAD₁=∠ACB．
在△ADD₁和△CAB中，
，
∴△ADD₁≌△CAB（AAS），
∴DD₁=AB；

（2）DD₁，EE₁，AB之間的數(shù)量關(guān)系是：DD₁+EE₁=AB
理由：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥l于H，
由（1）得△DD₁A≌△AHC，△CHB≌△EE₁B，
∴AH=DD₁，HB=EE₁，
∴AH+HB=DD₁+EE₁，
即AB=DD₁+EE₁．
分析：（1）由條件可以得出∠ABC=90°，∠DD₁A=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出AD=AC，∠DAC=90°，就可以得出∠DAD₁=∠ACB，從而得出△ADD₁≌△CAB就可以得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥l于H，通過(guò)證明△DD₁A≌△AHC，△CHB≌△EE₁B，就可以得出AH=DD₁，HB=EE₁，從而得出．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用三角形全等制造相等線段是關(guān)鍵．