Question

【題目】如圖是拋物線型拱橋,P處有一照明燈,水面OA寬4 m,從O,A兩處觀測P處,仰角分別為α,β,且tan α=,tan β=,以O為原點(diǎn),OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)水面上升1 m,水面寬多少?(結(jié)果精確到0.1 m.參考數(shù)據(jù): ≈1.41)

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（2）2.8m.

【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)P作PB⊥OA,垂足為B.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).運(yùn)用三角函數(shù)可得根據(jù)條件可求出，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若水面上升1m后到達(dá)位置，如圖，運(yùn)用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，然后求出時(shí)的值，就可解決問題．

試題解析： (1)如圖,過點(diǎn)P作PB⊥OA,垂足為B.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).

在Rt△POB中,

tan α=,

OB==2y.

在Rt△PAB中,

tan β=,

AB=y.

OA=OB+AB,

即2y+y=4. y=. x=2×=3.

點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

(2)設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y=ax2+bx.

由函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過(4,0), 兩點(diǎn),可得

解方程組,得

這條拋物線表示的二次函數(shù)為y=-x2+2x.

當(dāng)水面上升1 m時(shí),水面的縱坐標(biāo)為1,即-x2+2x=1,

解方程,得x1=2-,x2=2+.

x2-x1=2+-(2-)=2≈2.8.

因此,水面上升1 m,水面寬約為2.8 m.