【題目】已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，點(diǎn)E在AC的垂直平分線上.

（1）請(qǐng)問(wèn)：AB、BD、DC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

（2）如果∠B=60°，證明：CD=3BD.

【答案】（1）AB+BD=CD；理由見(jiàn)試題解析；（2）證明見(jiàn)試題解析．

【解析】試題分析：（1）由AD⊥BC，BD=DE，點(diǎn)E在AC的垂直平分線上，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=EC，AB=AE，繼而證得AB+BD=AE+DE=DC．

（2）易得△ABE是等邊三角形，則可得△ABC是直角三角形，且∠BAD=∠C=30°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，證得結(jié)論．

試題解析：（1）AB+BD=DC．理由如下：

∵AD⊥BC，BD=DE，∴AB=AE，BD=DE，

∵點(diǎn)E在AC的垂直平分線上，∴AE=CE，∴AB+BD=AE+DE=DC．

（2）∵AB=AE，∠B=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠AEB=∠B=∠BAE=60°，

∵AE=EC，∴∠C=∠CAE=∠AEB=30°，∴∠BAC=90°，∠BAD=30°，

在Rt△ABC中，BC=2AB，在Rt△AABD中，AB=2BD，

∴BC=4BD，∴DC=3BD．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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請(qǐng)完善下面證明思路：①先根據(jù) 　，證明BM=DG；②再證明　 　，得到DG=AC；所以BM=AC；

（2）數(shù)學(xué)思考：若將上題的條件改為：“已知Rt△ABC，∠ABC=90°，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACHI，N是EI的中點(diǎn)”，則相應(yīng)的結(jié)論“AN=BC”成立嗎？

小穎通過(guò)添加如圖2所示的輔助線驗(yàn)證了結(jié)論的正確性．請(qǐng)寫出小穎所添加的輔助線的作法，并由此證明該結(jié)論；

（3）拓展延伸：如圖3，已知等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE．連接BE，CD，若P是CD的中點(diǎn)，探索：當(dāng)∠BAC與∠DAE滿足什么條件時(shí)，AP=BE，并簡(jiǎn)要說(shuō)明證明思路．

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