Question

（2009•義烏）已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數圖象上的點，當四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形．
（1）若某函數是一次函數y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；
（2）若某函數是反比例函數y=（k＞0），他的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數圖象上，求m的值及反比例函數解析式；
（3）若某函數是二次函數y=ax²+c（a≠0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個點坐標為（3，4）．寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標______，寫出符合題意的其中一條拋物線解析式______，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數是奇數還是偶數______．

Answer 1

【答案】分析：此題較為新穎，特別要注意審題和分析題意，耐心把題讀完，知A、B為坐標軸上兩點，C、D為函數圖象上的兩點：（1）先正確地畫出圖形，再利用正方形的性質確定相關點的坐標從而計算正方形的邊長，注意思維的嚴密性．
（2）因為ABCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點D（2，m）的坐標表示出點C的坐標從而求解．
（3）注意思維的嚴密性，拋物線開口既可能向上，也可能向下．當拋物線開口向上時，正方形的另一個頂點也是在拋物線上，這個點既可能在點（3，4）的左邊，也可能在點（3，4）的右邊，過點（3，4）向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標；當拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論．
解答：解：（1）如圖1，
當點A在x軸正半軸，點B在y軸負半軸上時，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的邊長CD=；∠OCD=∠ODC=45°，
當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時，
設小正方形的邊長為a，
易得CL=小正方形的邊長=DK=LK，故3a=CD=．
解得a=，所以小正方形邊長為，
∴一次函數y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長為或；

（2）如圖2，作DE，CF分別垂直于x、y軸，
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此時，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C點坐標為（2-m，2），
∴2m=2（2-m），解得m=1．
反比例函數的解析式為y=．

（3）解：實際情況是拋物線開口向上的兩種情況中，另一個點都在（3，4）的左側，而開口向下時，另一點都在（3，4）的右側，與上述解析明顯不符合
1、當點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，點C坐標為（3，4）時：另外一個頂點為（4，1），對應的函數解析式是y=-x²+；
2、當點A在x 軸正半軸上，點 B在 y軸正半軸上，點D 坐標為（3，4）時：不存在，
3、當點A 在 x 軸正半軸上，點 B在 y軸負半軸上，點C 坐標為（3，4）時：不存在
4、當點A在x 軸正半軸上，點B在y軸負半軸上，點D坐標為（3，4）時：另外一個頂點C為（-1，3），對應的函數的解析式是y=x²+；
5、當點A在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上，點C坐標為（3，4）時，另一個頂點D的坐標是（7，-3）時，對應的函數解析式是y=-；
6、當點A在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上，點C坐標為（3，4）時，另一個頂點D的坐標是（-4，7）時，對應的拋物線為y=x²+；
∵由拋物線的伴侶正方形的定義知，一條拋物線有兩個伴侶正方形，是成對出現的，
∴所求出的任何拋物線的伴侶正方形個數為偶數．
點評：此題是一道新定義題，題比較復雜，先要正確理解伴侶正方形的意義，特別要注意的是正方形的頂點所處的位置，因為涉及到相關點的坐標，所以過某一點作坐標軸的垂線是必不可少的，再利用正方形的性質和全等三角形的知識確定相關點的坐標即可求解．