Question

如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個(gè)三角形(如圖2所示)．將紙片△AC₁D₁沿直線D₂B(AB)方向平移(點(diǎn)A，D₁，D₂，B始終在同一直線上)，當(dāng)點(diǎn)D₁與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移．在平移的過(guò)程中，C₁D₁與BC₂交于點(diǎn)E，AC₁與C₂D₂、BC₂分別交于點(diǎn)F、P．

1.當(dāng)△AC₁D₁平移到如圖3所示位置時(shí)，猜想D₁E與D₂F的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由

2.設(shè)平移距離D₂D₁為x，△AC₁D₁和△BC₂D₂重復(fù)部分面積為y，請(qǐng)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；

3.對(duì)于(2)中的結(jié)論是否存在這樣的x，使得重復(fù)部分面積等于原△ABC紙片面積的？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

圖1                  圖2                       圖3

 

Answer 1

 

1.．                              ……………………1分

∵，∴．∠C₂=∠BED₁

又∵∠ACB＝90°，CD是斜邊上的中線，

∴， DC＝DA＝DB，即

∴，∠C₂=∠B  ∴， ∠BED₁=∠B  ……………2分

∴，．．

又∵，∴．∴       ……………………3分

2.∵在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以由勾股定理，得AB＝10．

即

又∵，∴．∴

在中，到的距離就是△ABC的AB邊上的高，為．

設(shè)的邊上的高為h，由探究，得，∴．

∴．．……………………6分

又∵，∴．

又∵，．

∴，

而

∴．      ……………8分

3.存在．                          ………………9分

當(dāng)時(shí)，即

整理，得．解得，．………………11分

即當(dāng)或時(shí)，重疊部分的面積等于原△ABC面積的．……12分

解析:（1）根據(jù)題意，易得∠C₁=∠AFD₂；進(jìn)而可得C₁D1=C₂D2=BD₂=AD₁，又因?yàn)锳D₁=BD₂，可得答案；

（2）因?yàn)樵赗t△ABC中，AC=8，BC=6，所以由勾股定理，得AB=10；又因?yàn)镃₂D₁=x，所以D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，由圖形可得陰影部分面積的組成，分別用x表示出其面積可得答案．

(3)存在,解關(guān)于x的運(yùn)用二次方程求得