Question

已知拋物線y=ax²+bx+c過點A（1，），其頂點E的橫坐標為2，此拋物線與x軸分別交于B（x₁，0），C（x₂，0）兩點（x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=16．
（1）求此拋物線的解析式及頂點E的坐標；
（2）若D是y軸上一點，且△CDE為等腰三角形，求點D的坐標．

Answer 1

解：（1）設所求拋物線為y=a（x-2）²+n．
即y=ax²-4ax+4a+n．
∵點A（1，）在拋物線上，
∴=a+n．①
∵x₁，x₂是方程ax²-4ax+4a+n=0的兩實根，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=．
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4²-2×=16，
∴4a+n=0．②
由①②得a=-，n=2．
∴所求拋物線解析式為y=-（x-2）²+2，
即y=-x²+2x．
頂點E的坐標為（2，2）．

（2）由（1）知B（0，0），C（4，0）．
又因為E（2，2），
故△BCE為等腰直角三角形，如圖．
由等腰△CDE知，CE為腰或CE為底．
①當CE為腰時，又D在y軸上，則只能有DE=EC，顯然D點為（0，0）或（0，4）（這時D、E、C共線，舍去）．
∴D點只能�。�0，0）．
②當CE為底時，
設拋物線對稱軸與x軸交于點F，
因△CEF為等腰直角三角形，
則線段CE的垂直平分線過點F，
設交y軸于點D．
故∠OFD=45度．
∴OD=DF=2．
∴D點坐標為（0，-2）．
綜上所述，點D的坐標為（0，0）或（0，-2）．
分析：（1）設所求拋物線為y=a（x-2）²+n，又已知點A的坐標，求出x₁+x₂以及x₁x₂的表達式后可解出a、n的值．
（2）由（1）知點B、C的坐標，易得△BCE為等腰直角三角形．然后CE分兩種情況：當CE為腰以及當CE為底時求解．
點評：本題考查的是二次函數的圖象以及二次函數知識的靈活運用，難度較大．