Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2x+y﹣3，x﹣2y），它關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（x+3，y﹣4），關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A2 ．
（1）求A1、A2的坐標(biāo)；
（2）證明：O為線段A1A2的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)A（2x+y﹣3，x﹣2y）與A1（x+3，y﹣4）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

∴ ，

解得 ，

所以，A（8，3），

所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）

（2）證明：設(shè)經(jīng)過(guò)O、A1的直線解析式為y=kx，

易得：yOA1=﹣ x，

又∵A2（﹣8，3），

∴A2在直線OA1上，

∴A1、O、A2在同一直線上，

由勾股定理知OA1=OA2= = ，

∴O為線段A1A2的中點(diǎn)

【解析】（1）根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”列方程組求出x、y的值，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”寫(xiě)出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”寫(xiě)出點(diǎn)A2的坐標(biāo)；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)OA1的直線解析式為y=kx，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線解析式，再求出點(diǎn)A2在直線上，然后利用勾股定理列式求出OA1=OA2 ， 最后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義證明即可．