Question

如圖，直線y=x+m（m≠0）交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B且AB=5，過(guò)點(diǎn)A作直線AC⊥AB交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)E從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，以0.8個(gè)單位/秒的速度沿y軸向上運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿射線AB方向平行移動(dòng)．直線l在平移過(guò)程中交射線AB于點(diǎn)F、交y軸于點(diǎn)G．設(shè)點(diǎn)E離開(kāi)坐標(biāo)原點(diǎn)O的時(shí)間為t（t≥0）s．

（1）求直線AC的解析式；

（2）直線l在平移過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出△BOF為等腰三角形時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）直線l在平移過(guò)程中，設(shè)點(diǎn)E到直線l的距離為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=﹣x﹣     （2）F₁（，）、F₂（﹣，）、F₃．（﹣，2）

（3）d=﹣t+        d=t﹣

【解析】

試題分析：（1）∵y=x+m交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B，

∴B（0，m）、A（﹣3，0）．

∵AB=5，

∴m²+3²=5²，

解得m=±4．

∵m＞0，

∴m=4．

∴B（0，4）．

∴OB=4．

∵直線AC⊥AB交y軸于點(diǎn)C，易得△BOA∽△AOC，

∴=．

∴CO===．

∵點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，

∴C（0，﹣）．

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，

∵A（﹣3，0），C（0，﹣），

∴，

解得，

∴y=﹣x﹣；

（2）F₁（，）、F₂（﹣，）、F₃．（﹣，2）；

（3）分兩種情況：第一種情況：當(dāng)0≤t≤5時(shí)，

如圖，作ED⊥FG于D，則ED=d．

由題意，F(xiàn)G∥AC，

∴=，

∵AF=t，AB=5，

∴BF=5﹣t．

∵B（0，4），

∴BC=4+=．

∴=．

∴BG=（5﹣t）．

∵OE=0.8t，OB=4，

∴BE=4﹣0.8t．

∴EG=（5﹣t）﹣（4﹣0.8t）=﹣t．

∵FG⊥AB，ED⊥FG，

∴∠GDE=∠GFB=90°．

∴ED∥AB．

∴=．

∴=．

∴d=﹣t+．

第二種情況：當(dāng)t＞5時(shí)，

如圖（2），

作ED⊥FG于D，則ED=d，

則題意，F(xiàn)G∥AC，

∴=．

∵AF=t，AB=5，

∴BF=t﹣5．

∵B（0，4），C（0，﹣），

∴BC=4+=．

∴=．

∴BG=（t﹣5）．

∵OE=0.8t，OB=4，

∴BE=0.8t﹣4，EG=（t﹣5）﹣（0.8t﹣4），

=t﹣．

∵FG⊥AB，ED⊥FG，∠GDE=∠GFB=90°，

∴ED∥AB．

∴=．

∴=．

∴d=t﹣．

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；兩條直線相交或平行問(wèn)題；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的綜合；解題的關(guān)鍵是求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再用各點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式，注意（3）中分兩種情況進(jìn)行討論，不要漏掉．