Question

如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知OA=3，OC=2．在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．
（1）寫出點(diǎn)B、F的坐標(biāo)；
（2）求以點(diǎn)F為頂點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線的解析式；
（3）在第（2）題的拋物線上是否存在點(diǎn)P使得四邊形PDBF為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA=3，OC=2可求出B的坐標(biāo)，由折疊的性質(zhì)可知△BDA≌△BDF，所以AB=BF，根據(jù)折疊可得DA=FD=CO，進(jìn)而得到DF和DA的長，然后即可算出DO的長，進(jìn)而得到F點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)F為頂點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，由（1）可知F（1，2），所以h=1，k=2，再把A（3，0）代入求出a的值即可；
（3）在第（2）題的拋物線上存在點(diǎn)P使得四邊形PDBF為平行四邊形，過F作FP∥BD交x軸于P，若四邊形PDBF為平行四邊形則BF=DP，進(jìn)而求出P的坐標(biāo)，把P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可驗(yàn)證P是否在拋物線上．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，
∴AB=OC，BC=OA，
∴OA=3，OC=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，2），
根據(jù)折疊可得DA=DF，
∴DF=CO=2，
∴AD=2，
∴DO=3-2=1，
∴F（1，2），
（2）設(shè)點(diǎn)F為頂點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵F（1，2），
∴y=a（x-1）²+2，
∵OA=3，
∴A（3，0），
∴0=a（3-1）²+2，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x-1）²+2；
（3）在第（2）題的拋物線上存在點(diǎn)P使得四邊形PDBF為平行四邊形，
過F作FP∥BD交x軸于P，若四邊形PDBF為平行四邊形則BF=DP，
∵AB=BF=2，
∴BF=DP=2，
∵AD=DF=OC，OA=3，
∴OD=1，
∴OP=1，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)（-1，0），
把（-1，0）代入解析式y(tǒng)=-

1

2

（x-1）²+2得0=-

1

2

×4+2，
∴點(diǎn)P在拋物線上，
∴在第（2）題的拋物線上存在點(diǎn)P使得四邊形PDBF為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)以及矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理，難度較大．