Question

某課題學(xué)習(xí)小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問題進(jìn)行了探討：
定義：如果一個正方形的四個頂點(diǎn)都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形．
結(jié)論：在探討過程中，有三位同學(xué)得出如下結(jié)果：
甲同學(xué)：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在

 

個、

 

個、

 

個大小不同的內(nèi)接正方形．
乙同學(xué)：在直角三角形中，兩個頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大．
丙同學(xué)：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小．
任務(wù)：（1）填充甲同學(xué)結(jié)論中的數(shù)據(jù)；
（2）乙同學(xué)的結(jié)果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例并通過計算給予說明，若正確，請給出證明；
（3）請你結(jié)合（2）的判定，推測丙同學(xué)的結(jié)論是否正確，并證明．

Answer 1

分析：（1）分別畫一下即可得出答案；
（2）先判斷，再舉一個例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則AC=

2

．
（3）先判斷，再舉一個例子：設(shè)△ABC的三條邊分別為a，b，c，不妨設(shè)a＞b＞c，三條邊上的對應(yīng)高分別為h_a，h_b，h_c，內(nèi)接正方形的邊長分別為x_a，x_b，x_c．

解答：解：（1）1，2，3．（3分）

（2）乙同學(xué)的結(jié)果不正確．（4分）
例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則AC=

2

．
如圖①，四邊形DEFB是只有一個頂點(diǎn)在斜邊上的內(nèi)接正方形．
設(shè)它的邊長為a，則依題意可得：

a

1

=

1-a

1

，∴a=

1

2

，
如圖②，四邊形DEFH兩個頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形．
設(shè)它的邊長為b，則依題意可得：

b

2

=

2 2 -b

2 2

，∴b=

2

3

．
∴a＞b．（7分）

（3）丙同學(xué)的結(jié)論正確．
設(shè)△ABC的三條邊分別為a，b，c，不妨設(shè)a＞b＞c，三條邊上的對應(yīng)高分別為h_a，h_b，h_c，內(nèi)接正方形的邊長分別為x_a，x_b，x_c．
依題意可得：

xa

a

=

ha-xa

ha

，∴x_a=

aha

a+ha

．同理x_b=

bhb

b+hb

．
∵x_a-x_b=

aha

a+ha

-

bhb

b+hb

=

2S

a+ha

-

2S

b+hb

=2S（

1

a+ha

-

1

b+ hb

）
=

2S

(a+ha)(b+hb)

（b+h_b-a-h_a）．
=

2S

(a+ha)(b+hb)

（b+

2S

b

-a-

2S

a

）．
=

2S

(a+ha)(b+hb)

•（b-a）（1-

2S

ab

）．
=

2S

(a+ha)(b+hb)

•（b-a）（1-

ha

b

）．

又∵b＜a，h_a＜b，∴（b-a）（1-

ha

b

）＜0，
∴x_a＜x_b，即x_a²＜x_b²．
∴在不等邊銳角三角形中，兩個頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小．（10分）

點(diǎn)評：本題是一道難度較大的題目，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，舉出例子是解此題的關(guān)鍵．