Question

如圖，已知半徑為1的⊙O₁與x軸交于A，B兩點(diǎn)，圓心O₁的坐標(biāo)為（2，0），二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）射線OM從y軸正半軸開始，繞點(diǎn)O順時(shí)針方向以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)，幾秒后射線OM與⊙O₁相切？（切點(diǎn)為M）
（3）當(dāng)射線OM與⊙O₁相切時(shí)，在射線OM上是否存在一點(diǎn)P，使得以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形與△OO₁M相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓心的坐標(biāo)和圓的半徑求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)切線的定義可得O₁M⊥OM，然后利用直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出∠O₁OM=30°，再分OM在第一象限和第四象限兩種情況求出旋轉(zhuǎn)角，再列式求出時(shí)間即可；
（3）①OM在第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AP₁⊥x軸交OM于P₁，解直角三角形求出P₁A，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；過(guò)點(diǎn)A作AP₂⊥OM于P₂，過(guò)點(diǎn)P₂作P₂H⊥x軸于H，先根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出P₂A，再求出OP₂，然后求出OH、P₂H，再寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；②OM在第四象限時(shí)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵圓心O₁的坐標(biāo)為（2，0），⊙O₁的半徑是1，
∴點(diǎn)A（1，0），B（3，0），
∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，
∴

-1+b+c=0 -9+3b+c=0

，
解得

b=4 c=-3

，
∴二次函數(shù)解析式為y=-x²+4x-3；

（2）∵OM是⊙O₁的切線，
∴O₁M⊥OM，
∵OM₁=

1

2

OO₁=1，
∴∠O₁OM=30°，
①OM在第一象限時(shí)，射線OM旋轉(zhuǎn)了90°-30°=60°，
∵射線OM從y軸正半軸開始，繞點(diǎn)O順時(shí)針方向以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)，
∴射線OM旋轉(zhuǎn)了60°÷15°=4秒；
②由對(duì)稱性可知OM在第四象限內(nèi)與⊙O₁相切于點(diǎn)M，
射線OM旋轉(zhuǎn)了90°+30°=120°，
∵射線OM從y軸正半軸開始，繞點(diǎn)O順時(shí)針方向以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)，
∴射線OM旋轉(zhuǎn)了120°÷15°=8秒；
綜上所述，4秒或8秒后射線OM與⊙O₁相切；

（3）存在．
①OM在第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AP₁⊥x軸交OM于P₁，可得Rt△OP₁A∽R(shí)t△△OO₁M，
P₁A=OA•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，
∴點(diǎn)P₁（1，

3

3

），
②過(guò)點(diǎn)A作AP₂⊥OM于P₂，過(guò)點(diǎn)P₂作P₂H⊥x軸于H，可得Rt△OAP₁∽R(shí)t△△OO₁M，
在Rt△OP₂A中，P₂A=

1

2

OA=

1

2

×1=

1

2

，
OP₂=OA•cos30°=1×

3

2

=

3

2

，
在Rt△OP₂H中，OH=OP₂×cos30°=

3

2

×

3

2

=

3

4

，
P₂H=OP₂×sin30°=

3

2

×

1

2

=

3

4

，
∴點(diǎn)P₂（

3

4

，

3

4

）；
②OM在第四象限內(nèi)與⊙O₁相切于點(diǎn)M時(shí)，由對(duì)稱性知，還有P₃（1，-

3

3

），P₄（

3

4

，-

3

4

），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有P₁（1，

3

3

），P₂（

3

4

，

3

4

），P₃（1，-

3

3

），P₄（

3

4

，-

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，圓的切線的定義，相似三角形的判定，解直角三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）（3）要分情況討論．