Question

【題目】如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)E．

（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）連接BE交AC于點(diǎn)F，若cos∠CAD= ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴CD⊥OC，

又∵CD⊥AD，

∴AD∥OC，

∴∠CAD=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠CAD=∠CAO，

即AC平分∠DAB

（2）解：連接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．

∵AB是直徑，

∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，

∴四邊形DEHC是矩形，

∴∠EHC=90°即OC⊥EB，

∴DC=EH=HB，DE=HC，

∵cos∠CAD= = ，設(shè)AD=4a，AC=5a，則DC=EH=HB=3a，

∵cos∠CAB= = ，

∴AB= a，BC= a，

在RT△CHB中，CH= = a，

∴DE=CH= a，AE= = a，

∵EF∥CD，

∴ = = ．

【解析】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，勾股定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．（1）連
接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)和已知求出OC∥AD，求出∠OCA=∠CAO=∠DAC，即可得出答案；（2）連接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H，根據(jù)cos∠CAD= = ，設(shè)AD=4a，AC=5a，則DC=EH=HB=3a，根據(jù)cos∠CAB= = ，求出AB、BC，再根據(jù)勾股定理求出CH，由此即可解決問(wèn)題；