Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0），將直線沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后恰好經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．

（1）求直線BC及拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連結(jié)CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）y=－x+3；y=－4x+3；（2）（2,2）或（2，－2）；（3）45°

【解析】

（1）根據(jù)平移得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后設(shè)出函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)二次函數(shù)得出點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后得出OB、OC、OA和AB的長(zhǎng)度，得出△OBC為等腰直角三角形，則∠OBC=45°，CB的長(zhǎng)度為3，然后得出△AEC和△AFP相似得出PF的長(zhǎng)度，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）作點(diǎn)A（1,0）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出角度．

解：（1）∵y=kx沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)C，∴C（0，3）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3．

∵B（3，0）在直線BC上，∴3k+3=0．

解得k=－1，直線BC的解析式為y=－x+3．

∵拋物線過(guò)點(diǎn)，

解得

∴拋物線的解析式為．

（2）由． 可得D（2，－1），A（1，0）．

∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．

可得△OBC是等腰直角三角形．∴∠OBC=45°，CB=3．

如圖，設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)F，∴AF=AB=1．

過(guò)點(diǎn)A作AE于點(diǎn)E．∴∠AEB=90°．可得BE=AE=，CE=2．

在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，

．，．解得PF=2．

∵點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）或（2，－2）．

（3）作點(diǎn)A（1,0）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，則A′（-1，0）

連結(jié)A′C，A′D，可得A′C=AC=，∠OC A′=∠OCA

由勾股定理可得CD2=20， A′D2=10，

又 A′C2=10 ∴ A′D2+ A′C2=CD2

∴△ A′DC是等腰直角三角形，∠C A′D=90，

∴∠DC A′=45，∴∠OC A′+∠OCD=45，

∴∠OCA+∠OCD=45，

即∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45．