Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c．
（1）若a=2，c=-3，且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-2），求b的值；
（2）若a=2，b+c=-2，b＞c，且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（p，-2），求證：b≥0；
（3）若a+b+c=0，a＞b＞c，且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（q，-a），試問(wèn)當(dāng)自變量x=q+4時(shí)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y是否大于0？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：①本題待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，條件由具體到抽象，要根據(jù)題目的條件逐步求解；
②（2）（3）還需結(jié)合一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)解題．

解答：解：（1）當(dāng)a=2，c=-3時(shí)，二次函數(shù)為y=2x²+bx-3，
因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-2），
所以-2=2×（-1）²+b×（-1）-3，解得b=1；

（2）當(dāng)a=2，b+c=-2時(shí)，二次函數(shù)為y=2x²+bx-b-2，
因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（p，-2），
所以-2=2p²+bp-b-2，即2p²+bp-b=0，
于是，p為方程2x²+bx-b=0的根，
所以△=b²+8b=b（b+8）≥0．
又因?yàn)閎+c=-2，b＞c，
所以b＞-b-2，即b＞-1，有b+8＞0，所以b≥0；

（3）因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（q，-a），
所以aq²+bq+c+a=0．所以q為方程aq²+bq+c+a=0的根，
于是，△=b²-4a（a+c）≥0，
又a+b+c=0，所以△=b（3a-c）≥0，
又a＞b＞c，知a＞0，c＜0，所以3a-c＞0，所以b≥0，
所以q為方程aq²+bq+c+a=0的根，所以q=

-b- b2+4ab

2a

或q=

-b+ b2+4ab

2a

．
當(dāng)x=q+4時(shí)，y=a（q+4）²+b（q+4）+c=（aq²+bq+c+a）+8aq+15a+4b=8aq+15a+4b，
若q=

-b- b2+4ab

2a

，則y=8a•

-b- b2+4ab

2a

+15a+4b=15a-4

b2+4ab

．
因?yàn)閍＞b≥0，所以b²+4ab＜a²+4a•a=5a²，
即

b2+4ab

＜

5

a，-4

b2+4ab

＞-4

5

a，
∴y＞15a-4

5

a=（15-4

5

）a＞0；
若q=

-b+ b2+4ab

2a

，則y=8a•

-b+ b2+4ab

2a

+15a+4b=15a+4

b2+4ab

＞0．
所以當(dāng)x=q+4時(shí)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的待定系數(shù)或者系數(shù)之間的關(guān)系，同時(shí)還考查了方程組的解法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度大．